Найти единичный вектор р, одновременно перпендикулярный к вектору а(14,6,8) и к оси абсцисс

Вектор а =
Пусть вектор Ox - базисный вектор по оси абсцисс
Тогда координаты вектора Ох =
Пусть вектор p =

Координаты вектора а имеем право сократить на одно число, так как нам не важна длина векторов, исключительно их взаимное расположение. Сократим на 2
а =

Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Составим систему:
p * Ox = 0
p * a = 0

Распишем скалярные произведения через координаты:
x*1 + y*0 + z*0 = 0
x*7 + y*3 + z*4 = 0

Из первого уравнения сразу же находим x=0. Подставим это во второе уравнение:
0*7 + 3y + 4z = 0
3y + 4z = 0
z = -3/4y

Также не забываем что вектор должен быть единичным, то есть длина вектора равна 1 (корень сразу сократил, т.к. равенство единице):
x^2 + y^2 + z^2 = 1

Получили два уравнения
z = -3/4y
y^2 + z^2 = 1

Подставляем 1 во второе:
y^2 + 9/16y^2 = 1
25/16y^2 = 1
y^2 = 16/25
y = 4/5; y = -4/5
z = - 3/5; z = 3/5

Получили два вектора:
p1 =
p2 =

Можно заметить, что эти два вектора противоположно направлены, то есть по сути они лежат на одной прямой, перпендикулярной и вектор а, и оси абсцисс.


Ответ: или