Вывести производную косинуса и тангенса.

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1720

Покажем, что (cos x)'=-sin x

По определению $y'=lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}$

Приращение функции равно
$\Delta y=cos (x+\Delta x)-cos x=-2sin(x+\frac{\Delta x})sin (\frac {\Delta x})$
Ищем отношение
$\frac {\Delta y}{\Delta x}=-sin(x+\frac{\Delta x})\frac )}{\Delta \frac}$
Перейдем в этом равенстве к границе, когда $\Delta x->0$ . В следствии непрерывности функции sin x
$lim_{\Delta x->0} -sin(x+\frac{\Delta x})=- -sin lim_{\Delta x->0}(x+\frac{\Delta x})=-sin x$

Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив $\Delta \frac =\Delta \alpha$ , имеем
$lim_{\Delta x->0} \frac )}{\Delta \frac}= lim_{\alpha->0} \frac {\alpha}=1$
Поєтому
$lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0} (-sin(x+\frac{\Delta x})\frac )}{\Delta \frac})=-sin x *1=-sin x$
Т.е. (сos x)'=-sinx

Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение
$\Delta y=\frac -\frac = =\frac= \frac$
Получаем отношение
$\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac {\Delta x}}$
переходим к границе, когда $\Delta x->0$ .
$lim_{\Delta x->0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac {\Delta x}}=\frac$
Следовательно производная функции y=tg x существует и равна
$(tg x)'=\frac$

Хороший ответ

19 декабря 2022 01:19

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Алгебра

Икс в кубе, плюс три икс вквадрате, минус два икс,минус шесть ,равно нулю... Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20 найдите высоту проведенную к гипотенузе... Построить график функции y=sqrt(x^2+6*x+9)... Тремя крупнейшими озерами России являются озеро Байкал,Ладожское озеро и Онежское озеро.Общий объем воды,содержащейся в этих озерах,составляет 24 808... Вася решил проехать от дома до дачи на велосипеде. Вася двигался с постоянной скоростью без остановок весь пусть и добрался до дачи через 2,5 часа пос...