Лучшие помощники
- Megamozg 2170 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1685 б
- arkasha_bortnikov 775 б
- Dwayne_Johnson 755 б
17 декабря 2022 05:21
244
Исследовать экстремумы на функции 1.y=x^3-6x^2 2.y=x^4-4x^3 3.y=x^3/3+x^2-3x+5 4.y=2x^3-9x^2-60x+1 5.y=x^4+2x^2+1
1
ответ
Экстремум - максимальное или минимальное значение функции.
Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума,
а если максимум — точкой максимума.
А теперь решение:
1)
![\displaystyle y=x^3-6x^2 \displaystyle y=x^3-6x^2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%3Dx%5E3-6x%5E2)
необходимое условие экстремума функции одной переменной- в этой точке первая производная функции должна обращаться в нуль.
Найдем производную
![\displaystyle y`=(x^3-6x^2)`=3x^2-12x \displaystyle y`=(x^3-6x^2)`=3x^2-12x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D%28x%5E3-6x%5E2%29%60%3D3x%5E2-12x)
приравняем ее к нулю
![\displaystyle 3x^2-12=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0; x_2=4 \displaystyle 3x^2-12=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0; x_2=4](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%203x%5E2-12%3D0%5C%5C3x%28x-4%29%3D0%5C%5Cx_1%3D0%3B%20x_2%3D4)
у нас две точки экстремума. Определим теперь какие это точки (максимума или минимума)
- Точка x₀ называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≤f(x₀)
- Точка x₀ называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≥f(x₀)
Как это выглядит на решении?
нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки- экстремумы и проверим знак производной на полученных интервалах:
+ - +
------- 0 ------------ 4 -----------
Значит на промежутке (-оо;0) функция возрастает
на промежутке (0;4) - убывает
на промежутке (4;+оо) - возрастает
Значит х=0 точка максимума
значит х=4 точка минимума
Значение функции в точке х=0
- максимальное значение
значение функции в точке х=4
-минимальное значение
Далее решает по аналогии
2)
![\displaystyle y=x^4-4x^3 \displaystyle y=x^4-4x^3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%3Dx%5E4-4x%5E3)
найдем точки экстремума
![\displaystyle y`=(x^4-4x^3)`=4x^3-12x^2 \displaystyle y`=(x^4-4x^3)`=4x^3-12x^2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D%28x%5E4-4x%5E3%29%60%3D4x%5E3-12x%5E2)
![\displaystyle 4x^3-12x^2=0\\4x^2(x-3)=0\\x_1=0; x_2=3 \displaystyle 4x^3-12x^2=0\\4x^2(x-3)=0\\x_1=0; x_2=3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%204x%5E3-12x%5E2%3D0%5C%5C4x%5E2%28x-3%29%3D0%5C%5Cx_1%3D0%3B%20x_2%3D3)
+ - +
----- 0 --------- 3 ------------
на промежутке (-оо;0) и (3;+оо) - возрастает
на промежутке (0;3) убывает
х=0 точка максимума
максимальное значение функции
х=3 точка минимума
минимальное значение функции
3)
![\displaystyle y= \frac+x^2-3x+5 \displaystyle y= \frac+x^2-3x+5](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%2Bx%5E2-3x%2B5%20)
![\displaystyle y`=( \frac+x^2-3x+5)`=x^2+2x-3 \displaystyle y`=( \frac+x^2-3x+5)`=x^2+2x-3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D%28%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%2Bx%5E2-3x%2B5%29%60%3Dx%5E2%2B2x-3%20)
![\displaystyle y`=0\\x^2+2x-3=0\\D=4+12=16=4^2\\x_1=1: x_2=-3 \displaystyle y`=0\\x^2+2x-3=0\\D=4+12=16=4^2\\x_1=1: x_2=-3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D0%5C%5Cx%5E2%2B2x-3%3D0%5C%5CD%3D4%2B12%3D16%3D4%5E2%5C%5Cx_1%3D1%3A%20x_2%3D-3)
+ - +
------ - 3 ------- 1 ----------
на промежутке (-00;-3) и (1;+оо) возрастает
на промежутке (-3;1) убывает
х= -3 точка максимума
![\displaystyle y(-3)= \frac{(-3)^3}+(-3)^2-3*(-3)+5=-9+9+9+5=14 \displaystyle y(-3)= \frac{(-3)^3}+(-3)^2-3*(-3)+5=-9+9+9+5=14](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%28-3%29%3D%20%5Cfrac%7B%28-3%29%5E3%7D%7B3%7D%2B%28-3%29%5E2-3%2A%28-3%29%2B5%3D-9%2B9%2B9%2B5%3D14%20)
минимальное значение
x=1 точка минимума
минимальное значение
4)
![\displaystyle y=2x^3-9x^2-60x+1 \displaystyle y=2x^3-9x^2-60x+1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%3D2x%5E3-9x%5E2-60x%2B1)
![\displaystyle y`=(2x^3-9x^2-60x+1)`=6x^2-18x-60 \displaystyle y`=(2x^3-9x^2-60x+1)`=6x^2-18x-60](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D%282x%5E3-9x%5E2-60x%2B1%29%60%3D6x%5E2-18x-60)
![\displaystyle y`=0\\ 6x^2-18x-60=0\\6(x^2-3x-10)=0\\D=9+40=49=7^2\\x_1=-2; x_2=5 \displaystyle y`=0\\ 6x^2-18x-60=0\\6(x^2-3x-10)=0\\D=9+40=49=7^2\\x_1=-2; x_2=5](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D0%5C%5C%206x%5E2-18x-60%3D0%5C%5C6%28x%5E2-3x-10%29%3D0%5C%5CD%3D9%2B40%3D49%3D7%5E2%5C%5Cx_1%3D-2%3B%20x_2%3D5)
+ - +
------- - 2 -------- 5 --------
на промежутке (-оо;-2) и (5;+оо) возрастает
на промежутке (-2;5) убывает
точка х=-2 точка максимума
![\displaystyle y(-2)=2*(-2)^3-9*(-2)^2-60*(-2)+1=69 \displaystyle y(-2)=2*(-2)^3-9*(-2)^2-60*(-2)+1=69](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%28-2%29%3D2%2A%28-2%29%5E3-9%2A%28-2%29%5E2-60%2A%28-2%29%2B1%3D69)
максимальное значение
точка х=5 точка минимума
![\displaystyle y(5)=2*5^3-9*5^2-60*5+1=250-225-300+1=-274 \displaystyle y(5)=2*5^3-9*5^2-60*5+1=250-225-300+1=-274](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%285%29%3D2%2A5%5E3-9%2A5%5E2-60%2A5%2B1%3D250-225-300%2B1%3D-274)
минимальное значение
5)
![\displaystyle y=x^4+2x^2+1 \displaystyle y=x^4+2x^2+1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%3Dx%5E4%2B2x%5E2%2B1)
![\displaystyle y`=(x^4+2x^2+1)`=4x^3+4x \displaystyle y`=(x^4+2x^2+1)`=4x^3+4x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D%28x%5E4%2B2x%5E2%2B1%29%60%3D4x%5E3%2B4x)
![\displaystyle y`=0\\4x^3+4x=0\\4x(x^2+1)=0\\x=0 \displaystyle y`=0\\4x^3+4x=0\\4x(x^2+1)=0\\x=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%60%3D0%5C%5C4x%5E3%2B4x%3D0%5C%5C4x%28x%5E2%2B1%29%3D0%5C%5Cx%3D0)
- +
-------------- 0 ----------------
на промежутке (-оо;0) убывает
на промежутке (0;+оо) возрастает
x=0 точка минимума
![\displaystyle y(0)=1 \displaystyle y(0)=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20y%280%29%3D1)
минимальное значение функции
Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума,
а если максимум — точкой максимума.
А теперь решение:
1)
необходимое условие экстремума функции одной переменной- в этой точке первая производная функции должна обращаться в нуль.
Найдем производную
приравняем ее к нулю
у нас две точки экстремума. Определим теперь какие это точки (максимума или минимума)
- Точка x₀ называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≤f(x₀)
- Точка x₀ называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≥f(x₀)
Как это выглядит на решении?
нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки- экстремумы и проверим знак производной на полученных интервалах:
+ - +
------- 0 ------------ 4 -----------
Значит на промежутке (-оо;0) функция возрастает
на промежутке (0;4) - убывает
на промежутке (4;+оо) - возрастает
Значит х=0 точка максимума
значит х=4 точка минимума
Значение функции в точке х=0
значение функции в точке х=4
Далее решает по аналогии
2)
найдем точки экстремума
+ - +
----- 0 --------- 3 ------------
на промежутке (-оо;0) и (3;+оо) - возрастает
на промежутке (0;3) убывает
х=0 точка максимума
х=3 точка минимума
3)
+ - +
------ - 3 ------- 1 ----------
на промежутке (-00;-3) и (1;+оо) возрастает
на промежутке (-3;1) убывает
х= -3 точка максимума
минимальное значение
x=1 точка минимума
4)
+ - +
------- - 2 -------- 5 --------
на промежутке (-оо;-2) и (5;+оо) возрастает
на промежутке (-2;5) убывает
точка х=-2 точка максимума
максимальное значение
точка х=5 точка минимума
минимальное значение
5)
- +
-------------- 0 ----------------
на промежутке (-оо;0) убывает
на промежутке (0;+оо) возрастает
x=0 точка минимума
минимальное значение функции
0
·
Хороший ответ
19 декабря 2022 05:21
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Алгебра
Помогите решить: -2sin(7п\2+x)sinx=√3cosx (2 пример на фото)...
График функции y kx + b проходит через точки А(1;0) и В (0;2).Построить график этой функции и найти k и b.КАК ЕГО РЕШАТЬ БОЛЕ ПОНЯТНО...
украшение изготовленное из золота и жемчуга имеет массу 3 мискаля и стоит 24 динара. Сколько мискалей золота и жемчуга использовано в украшении, если...
Sin(п-x)cos(x-п/2)-sin(x+п/2)cos(П-x)...
1-2sin^2x=0 С решением...