Исследовать экстремумы на функции 1.y=x^3-6x^2 2.y=x^4-4x^3 3.y=x^3/3+x^2-3x+5 4.y=2x^3-9x^2-60x+1 5.y=x^4+2x^2+1

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции.
Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума,
а если максимум — точкой максимума.

А теперь решение:

1)
$\displaystyle y=x^3-6x^2$

необходимое условие экстремума функции одной переменной- в этой точке первая производная функции должна обращаться в нуль.

Найдем производную
$\displaystyle y`=(x^3-6x^2)`=3x^2-12x$

приравняем ее к нулю

$\displaystyle 3x^2-12=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0; x_2=4$

у нас две точки экстремума. Определим теперь какие это точки (максимума или минимума)

- Точка x₀ называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≤f(x₀)
- Точка x₀ называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≥f(x₀)

Как это выглядит на решении?

нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки- экстремумы и проверим знак производной на полученных интервалах:

+ - +
------- 0 ------------ 4 -----------

Значит на промежутке (-оо;0) функция возрастает
на промежутке (0;4) - убывает
на промежутке (4;+оо) - возрастает

Значит х=0 точка максимума
значит х=4 точка минимума

Значение функции в точке х=0
$\displaystyle y(0)=0$ - максимальное значение

значение функции в точке х=4
$\displaystyle y(4)=4^3-6*4^2=64-96=-32$ -минимальное значение

Далее решает по аналогии

2)
$\displaystyle y=x^4-4x^3$

найдем точки экстремума

$\displaystyle y`=(x^4-4x^3)`=4x^3-12x^2$

$\displaystyle 4x^3-12x^2=0\\4x^2(x-3)=0\\x_1=0; x_2=3$

+ - +
----- 0 --------- 3 ------------
на промежутке (-оо;0) и (3;+оо) - возрастает
на промежутке (0;3) убывает

х=0 точка максимума $\displaystyle y(0)=0$ максимальное значение функции
х=3 точка минимума $\displaystyle y(3)=3^4-4*3^3=81-108=-27$ минимальное значение функции

3)
$\displaystyle y= \frac+x^2-3x+5$

$\displaystyle y`=( \frac+x^2-3x+5)`=x^2+2x-3$

$\displaystyle y`=0\\x^2+2x-3=0\\D=4+12=16=4^2\\x_1=1: x_2=-3$

+ - +
------ - 3 ------- 1 ----------

на промежутке (-00;-3) и (1;+оо) возрастает
на промежутке (-3;1) убывает

х= -3 точка максимума
$\displaystyle y(-3)= \frac{(-3)^3}+(-3)^2-3*(-3)+5=-9+9+9+5=14$
минимальное значение

x=1 точка минимума
$\displaystyle y(1)= \frac+1-3+5= 3 \frac$ минимальное значение

4)
$\displaystyle y=2x^3-9x^2-60x+1$

$\displaystyle y`=(2x^3-9x^2-60x+1)`=6x^2-18x-60$

$\displaystyle y`=0\\ 6x^2-18x-60=0\\6(x^2-3x-10)=0\\D=9+40=49=7^2\\x_1=-2; x_2=5$

+ - +
------- - 2 -------- 5 --------
на промежутке (-оо;-2) и (5;+оо) возрастает
на промежутке (-2;5) убывает

точка х=-2 точка максимума
$\displaystyle y(-2)=2*(-2)^3-9*(-2)^2-60*(-2)+1=69$
максимальное значение

точка х=5 точка минимума
$\displaystyle y(5)=2*5^3-9*5^2-60*5+1=250-225-300+1=-274$
минимальное значение

5)
$\displaystyle y=x^4+2x^2+1$

$\displaystyle y`=(x^4+2x^2+1)`=4x^3+4x$

$\displaystyle y`=0\\4x^3+4x=0\\4x(x^2+1)=0\\x=0$

- +
-------------- 0 ----------------
на промежутке (-оо;0) убывает
на промежутке (0;+оо) возрастает

x=0 точка минимума

$\displaystyle y(0)=1$
минимальное значение функции

Хороший ответ

19 декабря 2022 05:21

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Алгебра

Найдите значение выражения 3^6×15^-5/5^-4... Магазин малыш закупает на оптовой базе набор погремушек. Стоимость одного набора 100 рублей. Если общая сумма превышает 1000 рублей, то на ту часть су... Найдите кв корни по дискриминату. Номеи 244 пожалуйста срочно сейчас... Срочно пожалуйста !!!!!!! (468-469)... Решите уравнение х^4-3х^2-4=0...