В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Пожалуйста, доступным языком!

В обеих областях по 100 рабочих готовых трудиться по 10 ч в сутки - всего 100 · 10 = 1000 "человеко-часов" в сутки!
1-я область: 1 рабочий за 1 час - 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля, то есть 100 рабочих за 10 часов произведут 300 кг алюминия, или 100 кг никеля. Заметим, что в 1-й области выгоднее производить алюминий.
Допустим y человеко-часов затрачено на производство алюминия, тогда (1000 - y) человеко-часов будет затрачено на производство никеля и всего будет произведено 0,3y алюминия и 0,1·(1000 - y) кг никеля. Общая масса произведенных металлов 100 - 0,1y + 0,3y = (100 + 0,2y) кг
2-я область: Все равно что производить, так как с одного и того же количества человеко-часов будет произведено одно и то же количество как алюминия, так и никеля. Если будет затрачено x² человеко-часов, то будет произведено x кг алюминия, а никеля будет произведено √(1000 - x²) кг
Общая масса произведенных металлов: x + √(1000 - x²) кг
Итого:
Масса произведенного сплава:
f(x,y) = 100 + 0,2y + x + √(1000 - x²) (*)
Всего алюминия будет произведено:
0,3y + x кг
Всего никеля:
0,1·(1000 - y) + √(1000 - x²) = 100 - 0,1y + √(1000 - x²) кг
Для соблюдения пропорции, необходимой для производства сплава, масса алюминия должна быть равна массе никеля, то есть:
0,3y + x = 100 - 0,1y + √(1000 - x²)
0,4y = 100 - x + √(1000 - x²)
0,2y = 50 - 0,5x + 0,5√(1000 - x²) (**)
Подставляя в f(x,y) выражение для 0,2y через x (**) получаем:
f(x) = 100 + 50 - 0,5x + 0,5√(1000 - x²) + x + √(1000 - x²) = 150 + 0,5x + 1,5√(1000 - x²)
Отыщем наибольшее значение f(x) при x∈[0; 10√10]



Умножаем обе части на 2:

После недолгих преобразований получаем:
√(1000 - x²) = 3x
1000 - x² = 9x²
10x² = 1000
x² = 100
x = 10 кг - единственный экстремум (максимум) на указанном промежутке, а значит в нем функция принимает наибольшее значение.
Найдем y (подставляем в (**)):
0,2y = 50 - 0,5 · 10 + 0,5 · 30 = 50 - 5 + 15 = 60 ⇒ y = 300 человеко-часов;
Воспользуемся (*):
f(x, y) = 100 + 0,2 · 300 + 10 + 30 = 100 + 60 + 40 = 200 кг
Таким образом 200 кг сплава сможет производить завод.