qls18

Пусть BD - биссектриса угла ABC, а O - центр вписанной окружности. Тогда по свойству биссектрисы: $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$$ Также заметим, что точки M, E и O лежат на одной прямой, аналогично для точек K, E и O. Пусть BE = x, BM = y, BK = z. Тогда из равенства периметров треугольников ABC и ABM получаем: $$AB+BC+AC=2(AB+BM)+AC$$ $$BC=2BM-AB=2y-x$$ Из теоремы Пифагора для треугольника ABM: $$AM^2+BM^2=AB^2$$ $$6^2+y^2=(x+z)^2$$ Аналогично для треугольника ABK: $$AK^2+BK^2=AB^2$$ $$AK^2+z^2=(x+y)^2$$ Из свойств вписанной окружности: $$BM\cdot BK=EM\cdot KM$$ $$y\cdot z=(x-y)(x+z)$$ Теперь можно составить систему уравнений: $$\begin{cases} \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC} \\ AC+AB+2BM=36 \\