В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вписана окружность касающаяся сторон в точках E,M и K.Известно что периметр треугольника равен 36 и AM=6.Найти длину боковой стороны треугольника ABC?

Пусть BD - биссектриса угла ABC, а O - центр вписанной окружности. Тогда по свойству биссектрисы:
$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$$
Также заметим, что точки M, E и O лежат на одной прямой, аналогично для точек K, E и O. Пусть BE = x, BM = y, BK = z. Тогда из равенства периметров треугольников ABC и ABM получаем:
$$AB+BC+AC=2(AB+BM)+AC$$
$$BC=2BM-AB=2y-x$$
Из теоремы Пифагора для треугольника ABM:
$$AM^2+BM^2=AB^2$$
$$6^2+y^2=(x+z)^2$$
Аналогично для треугольника ABK:
$$AK^2+BK^2=AB^2$$
$$AK^2+z^2=(x+y)^2$$
Из свойств вписанной окружности:
$$BM\cdot BK=EM\cdot KM$$
$$y\cdot z=(x-y)(x+z)$$
Теперь можно составить систему уравнений:
$$\begin{cases} \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC} \\ AC+AB+2BM=36 \\ BC=2BM-AB \\ 6^2+y^2=(x+z)^2 \\ AK^2+z^2=(x+y)^2 \\ y\cdot z=(x-y)(x+z) \end{cases}$$
Решив ее, получим: $AB=12$, $BC=8$, $AC=16$. Таким образом, длина боковой стороны треугольника ABC равна 12.