Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1, а площадь равна 2010?

Да, такой треугольник существует.

Пусть высоты треугольника равны h1, h2 и h3. Тогда площадь треугольника можно выразить как S = (1/2) * a * h1 = (1/2) * b * h2 = (1/2) * c * h3, где a, b и c - стороны треугольника.

Так как все высоты меньше 1, то h1 < 1, h2 < 1 и h3 < 1. Поэтому, чтобы площадь была равна 2010, можно выбрать такие стороны a, b и c, чтобы выполнялось неравенство a * h1 = 2S > 2010, b * h2 = 2S > 2010 и c * h3 = 2S > 2010.

Например, можно взять стороны a = 4020, b = 4020 и c = 1, тогда h1 = 2S/a = 2010/4020 < 1, h2 = h1 и h3 = 2S/c = 4020 > 1. Такой треугольник существует и его площадь равна 2010, при этом все высоты меньше 1.