Высота правильной треугольной пирамиды равна а(корень из 3), радиус окружности, описанной около ее основания, 2а.найдите:

а) апофему пирамиды

б)угол между боковой гранью и основанием

в)площадь боковой повверхности

г) плоский угол при вершине пирамиды

Для решения задачи воспользуемся формулами для правильной треугольной пирамиды.

а) Апофема пирамиды вычисляется по формуле:

$a_{p}=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}}$

где $a$ - сторона основания, $h$ - высота пирамиды.

Подставляем известные значения:

$a_{p}=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{3a^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{7a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

Ответ: апофема пирамиды равна $\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

б) Угол между боковой гранью и основанием равен углу между высотой пирамиды и боковой гранью. Этот угол можно найти по формуле:

$\sin\alpha=\frac{a}{2a_{p}}$

Подставляем известные значения:

$\sin\alpha=\frac{a}{2\cdot\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$

Находим угол:

$\alpha=\arcsin\frac{1}{\sqrt{7}}\approx25.2^{\circ}$

Ответ: угол между боковой гранью и основанием равен примерно $25.2^{\circ}$.

в) Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

$S_{б}=\frac{1}{2}Pl$

где $P$ - периметр основания, $l$ - апофема пирамиды.

Периметр основания равен:

$P=3a$

Подставляем известные значения:

$S_{б}=\frac{1}{2}\cdot3a\cdot\frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{3a^{2}\sqrt{7}}{4}$

Ответ: площадь боковой поверхности равна $\frac{3a^{2}\sqrt{7}}{4}$.

г) Плоский угол при вершине пирамиды равен удвоенному углу между боковой гранью и основанием. Этот угол мы уже нашли в пункте б):

$\gamma=2\alpha\approx50.4^{\circ}$

Ответ: плоский угол при вершине пирамиды равен примерно $50.4^{\circ}$.