В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 медианы пересекаются в точке 𝑀. Через точку 𝑀 проведена прямая, параллельная стороне 𝐵𝐶 и пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐸 соответственно. Найдите 𝐵𝐶, если 𝐷𝐸 = 6.

Обозначим длину стороны $AB$ через $a$, стороны $AC$ через $b$, а стороны $BC$ через $c$. Также обозначим $AM=x$ и $BM=MC=\frac{c}{2}$. По теореме Пифагора в треугольнике $ABM$ имеем:
$$
a^2=x^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2.
$$
Аналогично, в треугольнике $ACM$:
$$
b^2=x^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2.
$$
Отсюда следует, что $a=b$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Пусть $BD=y$ и $CE=z$. Тогда $AD=DC=\frac{a}{2}-y$ и $AE=EB=\frac{a}{2}-z$. Из параллельности прямых $DE$ и $BC$ следует, что $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, поэтому
$$
\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{a}{2}-y}{a}.
$$
Отсюда получаем
$$
BC=\frac{DE}{\frac{a}{2}-y}=\frac{2DE}{a-2y}= \frac{2DE}{2z}=DE=6.
$$
Итак, $BC=6$.