Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

1) f(x) = dx/(sqrt(sinx + 1)). Пределы интегрирования от 3pi/2 до 2pi

2) f(x) = dx/(sinx^(1/3)). Пределы интегрирования от pi до 3pi/2

Решение:

1) Поскольку функция f(x) = dx/(sqrt(sinx + 1)) не является непрерывной на отрезке [3pi/2, 2pi], то интеграл будет несобственным. Проверим его на сходимость:

∫(3pi/2 до 2pi) dx/(sqrt(sinx + 1)) = [замена sinx + 1 = t^2] = ∫(1 до √2) (t^2 - 1)/t^2 dt

Вычислим определенный интеграл:

∫(1 до √2) (t^2 - 1)/t^2 dt = ∫(1 до √2) (1 - 1/t^2) dt = [t + 1/t] от 1 до √2 = √2 + 1/√2 - 2 < ∞

Таким образом, интеграл сходится.

2) Функция f(x) = dx/(sinx^(1/3)) также не является непрерывной на отрезке [pi, 3pi/2], поэтому интеграл будет несобственным. Проверим его на сходимость:

∫(pi до 3pi/2) dx/(sinx^(1/3)) = [замена sinx^(1/3) = t] = 3∫(0 до 1) dt/(1 - t^6)

Вычислим определенный интеграл:

3∫(0 до 1) dt/(1 - t^6) = 3/2 ∫(0 до 1) [(1 + t^2)/(1 - t^2) - 1] dt = 3/2 [ln|1 + sinx^(1/3)| - ln|1 - sinx^(1/3)| - x] от pi до 3pi/2

Заметим, что ln|1 + sinx^(1/3)| - ln|1 - sinx^(1/3)| = 2arctan(sinx^(1/3)), поэтому:

3/2 [ln|1 + sinx^(1/3)| - ln|1 - sinx^(1/3)| - x] от pi до 3pi/2 = 3/2 [2arctan(sinx^(1/3)) - x] от pi до 3pi/2

Вычислим пределы:

lim x→pi+ 3/2 [2arctan(sinx^(1/3)) - x] = ∞

lim x→3pi/2- 3/2 [2arctan(sinx^(1/3)) - x] = -∞

Таким образом, интеграл расходится.