Известно, что все корни уравнения 𝑥2−2(𝑎+2)𝑥+𝑎+4=0 являются

корнями уравнения 𝑥2 − 2𝑏𝑥 + 𝑏2 − 4 = 0. Найти всевозможные пары a и b.

Обозначим корни уравнения 𝑥2−2(𝑎+2)𝑥+𝑎+4=0 через 𝑥1 и 𝑥2. Тогда по формуле Виета:

𝑥1+𝑥2=2(𝑎+2),

𝑥1⋅𝑥2=𝑎+4.

Так как корни этого уравнения являются корнями уравнения 𝑥2 − 2𝑏𝑥 + 𝑏2 − 4 = 0, то:

𝑥1+𝑥2=2𝑏,

𝑥1⋅𝑥2=𝑏2−4.

Из первых двух уравнений следует, что:

2(𝑎+2)=2𝑏, то есть 𝑎+2=𝑏.

Из вторых двух уравнений следует, что:

𝑎+4=𝑏2−4, то есть 𝑏2=𝑎+8.

Подставляем 𝑏=𝑎+2 из первого уравнения во второе:

(𝑎+2)2=𝑎+8,

𝑎2+4𝑎+4=𝑎+8,

𝑎2+3𝑎−4=0,

(𝑎+4)(𝑎−1)=0.

Отсюда получаем две возможные пары:

1) 𝑎=−4, 𝑏=−2;

2) 𝑎=1, 𝑏=3.