1.    В треугольнике ABC серединные перпендикуляры пересекаются в точке O. Известно, что расстояние от точки O до стороны AB равно 10 cм, OB = 26 см. Найдите площадь треугольника AOB. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1. 1.    В треугольнике ABC серединные перпендикуляры пересекаются в точке O. Известно, что ∠AOC = 120°, AC = 30. Найдите OB. Ответ дайте в сантиметрах.

1. Пусть точка D - середина стороны AB. Тогда OD - медиана треугольника AOB, а также высота, проходящая через точку O. По условию OD = 10 см, OB = 26 см.
Тогда площадь треугольника AOB равна S = (1/2)*AB*OD = (1/2)*AB*10.
Осталось найти длину стороны AB. Заметим, что треугольник AOB и треугольник COA равнобедренные, так как AD = DB, OD = OD (общее), а углы AOD и COD равны, так как являются вертикальными. Тогда угол AOB также равен 120 градусам.
Применим теорему косинусов к треугольнику AOB: AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2*AO*OB*cos(120) = AO^2 + OB^2 + AO*OB.
Заметим также, что треугольник AOC - равносторонний, так как угол AOC равен 120 градусам, а стороны AC и OC равны. Тогда AC = AO = CO = 30/2 = 15 см.
Подставляем известные значения: AB^2 = 15^2 + 26^2 + 15*26 = 961.
Отсюда AB = sqrt(961) = 31 см.
Итого, S = (1/2)*AB*10 = 155 кв.см.

2. Треугольник AOC - равносторонний, так как угол AOC равен 120 градусам, а стороны AC и OC равны. Тогда AC = AO = CO = 30/2 = 15 см.
Рассмотрим треугольник AOB. По теореме косинусов: OB^2 = AO^2 + AB^2 - 2*AO*AB*cos(120) = AO^2 + AB^2 + AO*AB.
Заметим, что точка O - середина стороны AC. Тогда AO = 1/2*AC = 7.5 см.
Подставляем известные значения: OB^2 = 7.5^2 + AB^2 + 7.5*AB.
Рассмотрим теперь треугольник BOC. Он также равносторонний, так как угол BOC равен 120 градусам, а стороны BC и OC равны. Тогда BC = BO = CO = OB.
Подставляем в предыдущее уравнение: OB^2 = 7.5^2 + (BC^2 + BO^2 - 2*BC*BO*cos(120)) + 7.5*(BC + BO) = 7.5^2 + 3*OB^2 - 2*BC*BO - 2*7.5*OB + 7.5*OB + 15*OB = 22.5*OB - 2*BC*BO + 7.5^2 + 3*BC^2.
Так как BC = OB, получаем квадратное уравнение: 2*OB^2 - 22.5*OB + 7.5^2 + 3*OB^2 - 2*OB^2 = 3*OB^2 - 22.5*OB + 7.5^2 = 0.
Решаем его: OB = (22.5 +/- sqrt(22.5^2 - 4*3*7.5^2))/(2*3) = (22.5 +/- 10.392)/6.
Так как OB > 0, выбираем положительный корень: OB = 4.655 см.
Ответ: 4.655 см.