Тонкий массивный обруч радиусом 25 см подвесили на гвоздь в стене и отклонили так, что его диаметр составляет 32

∘

 с вертикалью, после чего отпустили. Определить линейную скорость нижней точки обруча, когда он проходит положение равновесия.

Из условия задачи следует, что максимальный угол отклонения обруча от вертикали составляет $\theta = 32^\circ$.

Так как обруч движется по окружности, то его движение можно описать с помощью угловой скорости $\omega$, которая равна изменению угла за единицу времени.

Мы знаем, что при максимальном отклонении диаметр обруча составляет $2R\sin\theta$, где $R$ - радиус обруча. Таким образом, длина окружности, по которой движется нижняя точка обруча, равна $2\pi R\sin\theta$.

Время, за которое обруч проходит половину этой окружности (то есть, от максимального отклонения до положения равновесия), равно $t = \frac{\pi R\sin\theta}{\omega}$.

Линейная скорость нижней точки обруча в положении равновесия равна $v = R\omega$.

Таким образом, чтобы найти линейную скорость, нам нужно сначала найти угловую скорость $\omega$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии: потенциальная энергия обруча в положении максимального отклонения равна его кинетической энергии в положении равновесия.

Потенциальная энергия обруча в положении максимального отклонения равна $mgh$, где $m$ - масса обруча, $g$ - ускорение свободного падения, а $h$ - высота максимального отклонения, которая равна $R(1-\cos\theta)$.

Кинетическая энергия обруча в положении равновесия равна $\frac{1}{2}mv^2$, где $v$ - линейная скорость нижней точки обруча в положении равновесия.

Таким образом, мы можем записать:

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$

$$v = \sqrt{2gh}$$

где $h = R(1-\cos\theta)$.

Теперь мы можем найти линейную скорость нижней точки обруча в положении равновесия:

$$v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} \approx 2.84 \text{ м/с}$$

Ответ: линейная скорость нижней точки обруча в положении равновесия составляет примерно 2.84 м/с.