Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
2 апреля 2023 00:04
1367
2 окружности касаются внутренним образом в точке К,причем меньшая проходит через центр большей. Хорда МN большей окружности касается меньшей в точке С.Хорды КМ и КN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно,а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.Найти МN,если LB:LА как 2:3,а радиус малой окр. равен корень из 23
1
ответ
А вот это ничего задачка :) жаль, что в праздники.
Прежде, чем начать, я выражаю благодарность Hrisula за предоставленный отличный рисунок к задаче.
1) Сразу надо понять, что AB II MN. Причем - еще до того, как используется, что MN - касательная к окружности (ABK) (я буду обозначать окружности в тексте тремя точками в скобках).
В самом деле, в точке K у окружностей есть общая касательная. Пусть это прямая KP, где Р - точка пересечения касательных MN и KP (то есть P лежит на продолжении MN)
∠NKP = ∠NMK; (оба измеряются половиной дуги KN окружности (MNK))
∠BAK = ∠BKP; ( оба измеряются половиной дуги BK окружности (ABK));
то есть ∠NMK = ∠BAK; что означает AB II MN.
2) Из этого следует подобие треугольников ABK и MNK. Но поскольку радиус описанной окружности у треугольника ABK в 2 раза меньше, то и стороны в 2 раза меньше, что означает, что AB - средняя линия треугольника MNK. Но это еще не всё :) - это еще и означает, что CK делится прямой AB пополам, то есть CL = LK;
(Любой, кто знаком с гомотетией, эти два пункта может доказать моментально - тут просто гомотетия с центром в точке K и коэффициентом 2. Отсюда и параллельность, и средняя линия.)
3) Теперь самое время вспомнить, что MN - касательная.
Обе касательные СP и KP к окружности (ABK) образуют одинаковые углы с хордой CK.
То есть ∠NCK = ∠PKC;
но ∠PKC = ∠NKP + ∠NKC;
∠PCK = ∠NMK +∠CKM;
если еще раз вспомнить, что ∠NKP = ∠NMK;
то ∠NKC = ∠CKM;
получилось, что CK = биссектриса угла AKB;
это означает, что AK/BK = AL/BL = 3/2; (разумеется, в подобном треугольнику ABK треугольнике MNK тоже такое же соотношение сторон)
4) Теперь надо "сложить" полученные условия для вписанного четырехугольника ACBK - что AL/BL = 3/2 = AK/BK; и CL = KL. Также AC = CВ, но это не понадобится (хотя в принципе и это можно было бы использовать). Главная задача - найти угол AKB. Полученных связей должно хватить.
Для краткости и понятности формул я теперь обозначу
γ = ∠AKB; a = BK; b = AK; l = KL = CL;
Пара треугольников KLB и AKC; имеет равные углы, так как KL - биссектриса угла AKB; и ∠ABK = ∠ACK; так как это вписанные углы, опирающиеся на дугу AK;
Поэтому KL/KB = KA/CK;
или 2*l^2 = ab;
Учитывая, что b = a*3/2; получается l = a*√3/2; (синус 60° тут возник случайно).
Если записать площадь треугольника ABK, как
ab*sin(γ)/2 = al*sin(γ/2)/2 + bl*sin(γ/2)/2; то
l = 2ab*cos(γ/2)/(a + b);
или, если подставить ранее найденные соотношения b = a*3/2; l = a*√3/2
a*√3/2 = 2a*(3a/2)*cos(γ/2)/(a + 3*a/2);
после сокращений получается значение косинуса половины угла AKB, откуда можно найти синус всего угла.
cos(γ/2) = 5√3/12; sin(γ/2) = √69/12; sin(γ) = 5√23/24;
(угол получился близким к прямому, но все-таки меньше :) примерно 87,6°)
5) Теперь, когда известен синус угла MKN; остается только применить теорему синусов. Радиус окружности (MKN) равен 2√23; поэтому
MN = 2*(2√23)*(5√23/24) = 5*23/6 = 115/6 = 19,1(6);
ну вот как-то так. Проверяйте...
(Между прочим, диаметр большей окружности 4√23 примерно равен 19,1833261)
Прежде, чем начать, я выражаю благодарность Hrisula за предоставленный отличный рисунок к задаче.
1) Сразу надо понять, что AB II MN. Причем - еще до того, как используется, что MN - касательная к окружности (ABK) (я буду обозначать окружности в тексте тремя точками в скобках).
В самом деле, в точке K у окружностей есть общая касательная. Пусть это прямая KP, где Р - точка пересечения касательных MN и KP (то есть P лежит на продолжении MN)
∠NKP = ∠NMK; (оба измеряются половиной дуги KN окружности (MNK))
∠BAK = ∠BKP; ( оба измеряются половиной дуги BK окружности (ABK));
то есть ∠NMK = ∠BAK; что означает AB II MN.
2) Из этого следует подобие треугольников ABK и MNK. Но поскольку радиус описанной окружности у треугольника ABK в 2 раза меньше, то и стороны в 2 раза меньше, что означает, что AB - средняя линия треугольника MNK. Но это еще не всё :) - это еще и означает, что CK делится прямой AB пополам, то есть CL = LK;
(Любой, кто знаком с гомотетией, эти два пункта может доказать моментально - тут просто гомотетия с центром в точке K и коэффициентом 2. Отсюда и параллельность, и средняя линия.)
3) Теперь самое время вспомнить, что MN - касательная.
Обе касательные СP и KP к окружности (ABK) образуют одинаковые углы с хордой CK.
То есть ∠NCK = ∠PKC;
но ∠PKC = ∠NKP + ∠NKC;
∠PCK = ∠NMK +∠CKM;
если еще раз вспомнить, что ∠NKP = ∠NMK;
то ∠NKC = ∠CKM;
получилось, что CK = биссектриса угла AKB;
это означает, что AK/BK = AL/BL = 3/2; (разумеется, в подобном треугольнику ABK треугольнике MNK тоже такое же соотношение сторон)
4) Теперь надо "сложить" полученные условия для вписанного четырехугольника ACBK - что AL/BL = 3/2 = AK/BK; и CL = KL. Также AC = CВ, но это не понадобится (хотя в принципе и это можно было бы использовать). Главная задача - найти угол AKB. Полученных связей должно хватить.
Для краткости и понятности формул я теперь обозначу
γ = ∠AKB; a = BK; b = AK; l = KL = CL;
Пара треугольников KLB и AKC; имеет равные углы, так как KL - биссектриса угла AKB; и ∠ABK = ∠ACK; так как это вписанные углы, опирающиеся на дугу AK;
Поэтому KL/KB = KA/CK;
или 2*l^2 = ab;
Учитывая, что b = a*3/2; получается l = a*√3/2; (синус 60° тут возник случайно).
Если записать площадь треугольника ABK, как
ab*sin(γ)/2 = al*sin(γ/2)/2 + bl*sin(γ/2)/2; то
l = 2ab*cos(γ/2)/(a + b);
или, если подставить ранее найденные соотношения b = a*3/2; l = a*√3/2
a*√3/2 = 2a*(3a/2)*cos(γ/2)/(a + 3*a/2);
после сокращений получается значение косинуса половины угла AKB, откуда можно найти синус всего угла.
cos(γ/2) = 5√3/12; sin(γ/2) = √69/12; sin(γ) = 5√23/24;
(угол получился близким к прямому, но все-таки меньше :) примерно 87,6°)
5) Теперь, когда известен синус угла MKN; остается только применить теорему синусов. Радиус окружности (MKN) равен 2√23; поэтому
MN = 2*(2√23)*(5√23/24) = 5*23/6 = 115/6 = 19,1(6);
ну вот как-то так. Проверяйте...
(Между прочим, диаметр большей окружности 4√23 примерно равен 19,1833261)

0
·
Хороший ответ
4 апреля 2023 00:04
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Геометрия
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 4 см и 3 см , считая от...
Помогите с домашкой...
Проведите три прямые так,чтобы каждые две из них пересекались.Обозначьте все точки пересечения этих прямых.Сколько получилось точек?Рассмотрите все во...
Сторона равностороннего треугольника равна 14 корней из 3. Найдите его биссектрису...
Высота правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 10 см. Сторона её основания равна 12 см. Вычислите периметр сечения призмы плоскостью, содержащей прямую A...