Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1705

Ответ:
$\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$
Пошаговое объяснение:
$$\int arctg\sqrt x\;dx$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

Пусть u = arctg√x ⇒
$\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{(1+x)\cdot2\sqrt x}$
Пусть dv = dx ⇒ v = x

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Рассмотрим интеграл:
$\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Обозначим √x = t
x = t² ⇒ dx = 2t dt
$\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac = \int \frac = \int\bigg(1- \frac\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x$

Вернёмся к нашему интегралу:
$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

Хороший ответ

4 апреля 2023 21:30

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Каковы единицы измерения чисел в задании?... Сколько воды в 1 3?... Вычислительная машина работает так: ..._...+6... 1) запиши, какие числа будут получаться на выходе из машины, если на вход подавать числа: 4, 8, 14, 3... Какое число получится, если умножить 1 на корень из 3?... 16 игрек -4 игрек плюс 8 игрек равно 100 . РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПОЖАЛУЙСТА...

Найти интеграл: Интеграл arctg(корень x) dx

Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx