Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1720

Ответ:
$\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$
Пошаговое объяснение:
$$\int arctg\sqrt x\;dx$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

Пусть u = arctg√x ⇒
$\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{(1+x)\cdot2\sqrt x}$
Пусть dv = dx ⇒ v = x

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Рассмотрим интеграл:
$\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Обозначим √x = t
x = t² ⇒ dx = 2t dt
$\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac = \int \frac = \int\bigg(1- \frac\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x$

Вернёмся к нашему интегралу:
$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

Хороший ответ

4 апреля 2023 21:30

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Как найти значение 10 в 6-й степени?... На День Рождения Ослика Иа‑Иа Винни‑Пух, Сова и Пятачок решили подарить шарики, причем Винни‑Пух приготовил шариков в два раза больше, чем Пятачок, а... Какая длина указана в задании?... Как перевести 2 кв м в квадратные дециметры?... Назови числа второго десятка. Сколько их? Какое из этих чисел наименьшее? Наибольшое? Выпиши числа, которые делятся на 2. Запиши число, в котором 1 де...

Найти интеграл: Интеграл arctg(корень x) dx

Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx