Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx

1 ответ

Посмотреть ответы

DevAdmin

1720

Ответ:
$\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$
Пошаговое объяснение:
$$\int arctg\sqrt x\;dx$

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

Пусть u = arctg√x ⇒
$\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{(1+x)\cdot2\sqrt x}$
Пусть dv = dx ⇒ v = x

$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Рассмотрим интеграл:
$\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}$

Обозначим √x = t
x = t² ⇒ dx = 2t dt
$\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac = \int \frac = \int\bigg(1- \frac\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x$

Вернёмся к нашему интегралу:
$\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C$

Хороший ответ

4 апреля 2023 21:30

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) 9/y 2) x+7/x+9 3) m-1/m^2-9 4)x/|x|-3 5) 4/x-8 + 1/x-1 6) 2x-3/(x+2)(x-10)... Можно ли выполнить задание '1 2 кпа'?... Сколько сантиметров в 0,4 метрах?... Какие символы содержит заданная последовательность "10a a b 7b"?... Вопрос: Является ли число 10 четным?...

Найти интеграл: Интеграл arctg(корень x) dx

Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx