Лучшие помощники
2 апреля 2023 21:30
481

Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx

1 ответ
Посмотреть ответы
Ответ:
\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C
Пошаговое объяснение:
$\int arctg\sqrt x\;dx

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
$\int u\;dv = uv - \int v\;du

Пусть u = arctg√x ⇒
\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{(1+x)\cdot2\sqrt x}
Пусть dv = dx ⇒ v = x

\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}

Рассмотрим интеграл:
\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}

Обозначим √x = t
x = t² ⇒ dx = 2t dt
\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac = \int \frac = \int\bigg(1- \frac\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x

Вернёмся к нашему интегралу:
\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C
0
·
Хороший ответ
4 апреля 2023 21:30
Остались вопросы?
Найти нужный