В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между: 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1

𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵

𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶

𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵

(𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵)

Для решения задачи нам необходимо знать координаты точек в кубе. Пусть сторона куба равна a, тогда координаты точек будут:

A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0)
A1(0, 0, a), B1(a, 0, a), C1(a, a, a), D1(0, a, a)

1. Угол между AB и A1B1:

Вектор AB = (a, 0, 0), вектор A1B1 = (-a, 0, a)
Скалярное произведение векторов AB и A1B1 равно:
(a, 0, 0) * (-a, 0, a) = -a^2
Длины векторов AB и A1B1 равны:
|AB| = a, |A1B1| = a*sqrt(2)
Тогда косинус угла между векторами AB и A1B1 равен:
cos(α) = (a, 0, 0) * (-a, 0, a) / (a * a * sqrt(2)) = -1 / sqrt(2)
Угол α между векторами AB и A1B1 равен:
α = arccos(-1 / sqrt(2)) ≈ 135°

2. Угол между AB и A1B:

Вектор AB = (a, 0, 0), вектор A1B = (0, 0, a)
Скалярное произведение векторов AB и A1B равно:
(a, 0, 0) * (0, 0, a) = 0
Длины векторов AB и A1B равны:
|AB| = a, |A1B| = a
Тогда косинус угла между векторами AB и A1B равен:
cos(β) = (a, 0, 0) * (0, 0, a) / (a * a) = 0
Угол β между векторами AB и A1B равен:
β = arccos(0) = 90°

3. Угол между AB и C1C:

Вектор AB = (a, 0, 0), вектор C1C = (0, a, 0)
Скалярное произведение векторов AB и C1C равно:
(a, 0, 0) * (0, a, 0) = 0
Длины векторов AB и C1C равны:
|AB| = a, |C1C| = a
Тогда косинус угла между векторами AB и C1C равен:
cos(γ) = (a, 0, 0) * (0, a, 0) / (a * a) = 0
Угол γ между векторами AB и C1C равен:
γ = arccos(0) = 90°

4. Угол между AB и B1C1D1:

Вектор AB = (a, 0, 0), вектор B1C1D1 = (0, -a, a)
Скалярное произведение векторов AB и B1C1D1 равно:
(a, 0, 0) * (0, -a, a) = 0
Длины векторов AB и B1C1D1 равны:
|AB| = a, |B1C1D1| = a*sqrt(2)
Тогда косинус угла между векторами AB и B1C1D1 равен:
cos(δ) = (a, 0, 0) * (0, -a, a) / (a * a * sqrt(2)) = -1 / sqrt(2)
Угол δ между векторами AB и B1C1D1 равен:
δ = arccos(-1 / sqrt(2)) ≈ 135°

5. Угол между ABC и B1CB:

Вектор ABC = (a, a, 0), вектор B1CB = (0, a, -a)
Скалярное произведение векторов ABC и B1CB равно:
(a, a, 0) * (0, a, -a) = -a^2
Длины векторов ABC и B1CB равны:
|ABC| = a*sqrt(2), |B1CB| = a*sqrt(2)
Тогда косинус угла между векторами ABC и B1CB равен:
cos(ε) = (a, a, 0) * (0, a, -a) / (a * a * 2) = -1 / 2
Угол ε между векторами ABC и B1CB равен:
ε = arccos(-1 / 2) ≈ 120°

6. Угол между ABC и B1CB1:

Вектор ABC = (a, a, 0), вектор B1CB1 = (-a, a, a)
Скалярное произведение векторов ABC и B1CB1 равно:
(a, a, 0) * (-a, a, a) = a^2
Длины векторов ABC и B1CB1 равны:
|ABC| = a*sqrt(2), |B1CB1| = a*sqrt(3)
Тогда косинус угла между векторами ABC и B1CB1 равен:
cos(ζ) = (a, a, 0) * (-a, a, a) / (a * a * sqrt(6)) = 1 / sqrt(6)
Угол ζ между векторами ABC и B1CB1 равен:
ζ = arccos(1 / sqrt(6)) ≈ 35.26°