ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ!!!

Даны точки A (3; −2), B (1; −1) и C (−1; 1). Найдите: 

1) координаты векторов ; 

2) модули векторов ; 

3) координаты вектора ; 

4) скалярное произведение векторов ; 

5) косинус угла между векторами .

1) Координаты векторов:

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1-3 \\ -1-(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1-3 \\ 1-(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-1-1 \\ 1-(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 2\end{pmatrix}$

2) Модули векторов:

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$

3) Координаты вектора $\overrightarrow{BD}$, где $D$ - середина отрезка $AC$:

$\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$

4) Скалярное произведение векторов:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \cdot (-4) + (-1) \cdot 3 = 11$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 6$

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4) \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = 14$

5) Косинус угла между векторами:

$\cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{11}{\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{11}{5\sqrt{5}}$

$\cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{6}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{5}$

$\cos \angle ACD = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{14}{5 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{5}$