Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, стороны которого равны 10 и 15, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: а) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.

А) Обозначим меньшую высоту параллелограмма как $h$. Так как острый угол параллелограмма равен 45°, то высота $h$ будет равна стороне, противолежащей этому углу, то есть $h=10$.

б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания параллелепипеда равен углу между прямой, перпендикулярной основанию и линией пересечения плоскостей. Этот угол равен углу между вектором, направленным вдоль линии пересечения плоскостей, и вектором, перпендикулярным основанию. Вектор, направленный вдоль линии пересечения плоскостей, равен векторному произведению векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC_1}$, а вектор, перпендикулярный основанию, равен вектору $\overrightarrow{AB_1}$.

Имеем: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 15 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC_1}=\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -h \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB_1}=\begin{pmatrix} 15 \\ 0 \\ -h \end{pmatrix}$. Тогда вектор, направленный вдоль линии пересечения плоскостей, равен: $$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC_1}=\begin{pmatrix} 0 \\ -15h \\ 75 \end{pmatrix}.$$ Угол между векторами $\overrightarrow{n}$ и $\overrightarrow{AB_1}$ равен: $$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB_1}}{|\overrightarrow{n}|\cdot|\overrightarrow{AB_1}|}=\frac{15h}{\sqrt{15^2h^2+75^2}\cdot 15}=\frac{h}{\sqrt{h^2+5^2}}.$$ Таким образом, угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания равен: $$\theta=\arccos\frac{h}{\sqrt{h^2+5^2}}.$$ Подставляя $h=10$, получаем: $$\theta=\arccos\frac{10}{\sqrt{10^2+5^2}}\approx 63.4^\circ.$$

в) Боковая поверхность параллелепипеда состоит из четырех прямоугольников, каждый из которых имеет площадь равную произведению высоты и длины стороны основания. Площадь боковой поверхности равна: $$4\cdot 10\cdot 15+4\cdot 10\cdot h+4\cdot 15\cdot h=800+80h.$$ Подставляя $h=10$, получаем: $$S_{\text{бок}}=1600.$$

г) Поверхность параллелепипеда состоит из двух оснований и четырех боковых поверхностей. Площадь поверхности равна: $$2\cdot 10\cdot 15+800=400+800+800=2000.$$ Ответ: а) $h=10$; б) $\theta\approx 63.4^\circ$; в) $S_{\text{бок}}=1600$; г) $S_{\text{пов}}=2000$.