Найдите меньшую диагональ ромба ABCD со стороной 5, если его меньший угол в 4 раза меньше большего. Значения синусов, косинусов углов, взятых из таблицы Брадиса, округлите до десятых. Ответ оставьте иррациональным числом или округлите до целых.

При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Для начала нарисуем ромб ABCD:


Пусть меньший угол ромба равен $\alpha$, тогда больший угол будет равен $4\alpha$. Так как сумма углов ромба равна $360^\circ$, то:

$$4\alpha + 2\alpha + 2\alpha + 2\alpha = 360^\circ$$

$$10\alpha = 360^\circ$$

$$\alpha = 36^\circ$$

Теперь найдем длину большей диагонали ромба. Для этого воспользуемся формулой для синуса угла, который равен половине большей диагонали:

$$\sin(2\alpha) = \frac{2S}{AC}$$

где $S$ - площадь ромба, $AC$ - сторона ромба.

Площадь ромба можно найти, разделив его на два равнобедренных треугольника:

$$S = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot \frac{1}{2} \cdot BD \cdot \sin(\alpha)$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin(\alpha)$$

Так как сторона ромба равна 5, то:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot BD \cdot \sin(36^\circ)$$

$$BD = \frac{2S}{5\sin(36^\circ)}$$

Теперь найдем синус угла $4\alpha$:

$$\sin(4\alpha) = \sin(144^\circ) = \sin(180^\circ - 36^\circ) = \sin(36^\circ)$$

Таким образом, мы можем записать:

$$BD = \frac{2S}{5\sin(4\alpha)}$$

$$BD = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(36^\circ)}{5\sin(4\alpha)}$$

$$BD = \frac{5\sin(36^\circ)}{\sin(4\alpha)}$$

$$BD = \frac{5\sin(36^\circ)}{\sin(144^\circ)}$$

$$BD = \frac{5\sin(36^\circ)}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}$$

$$BD = \frac{20\sin(36^\circ)}{\sqrt{5}-1}$$

Поскольку $\sin(36^\circ) \approx 0.5878$, то:

$$BD \approx \frac{20 \cdot 0.5878}{\sqrt{5}-1} \approx 7.6$$

Таким образом, меньшая диагональ ромба равна:

$$AC = \frac{BD}{\sqrt{2}} \approx \frac{7.6}{\sqrt{2}} \approx 5.4$$

Ответ: 5.