Задание 17: точка M - середина стороны AB треугольника ABC. Выразите вектор CM через векторы AB и BC.

Задание 18: Докажите что средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Задание 19: Дан правильный шестиугольник ABCDEF, O - его центр, вектор OA = вектор a, вектор OB = вектор b. Найдите векторы OC, OD, OE, и OF.

Решение задания 17:

Так как точка M - середина стороны AB, то вектор AM = 1/2 AB и вектор MB = 1/2 AB. Тогда вектор CM = CA + AM = CA + 1/2 AB.

Но мы можем выразить вектор CA через векторы BC и BA:

CA = -CB - BA

Тогда вектор CM = -CB - BA + 1/2 AB = -CB + 1/2 AB - 1/2 BA.

Ответ: вектор CM = -CB + 1/2 AB - 1/2 BA.

Решение задания 18:

Пусть ABCD - трапеция, AD || BC, M - середина стороны AB. Тогда AM = 1/2 AB, BM = 1/2 AB. Рассмотрим векторы AM и BM:

AM = 1/2 AB,
BM = -1/2 AB.

Тогда вектор MC = AC - AM = AC - 1/2 AB, и вектор MD = BD - BM = BD + 1/2 AB.

Так как AD || BC, то векторы AD и BC коллинеарны. Тогда векторы AC и BD равны по модулю и противоположны по направлению. То есть векторы AC и -BD равны.

Тогда векторы MC и MD равны по модулю и противоположны по направлению. То есть векторы MC и -MD равны.

Тогда средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

MN = 1/2 (AC - BD) = 1/2 (AB + CD).

Ответ: средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Решение задания 19:

Так как ABCDEF - правильный шестиугольник, то его центр O - точка пересечения диагоналей. Тогда векторы OC, OD, OE и OF равны векторам OA, OB, OC и OD, повернутым на угол 60 градусов вокруг центра O.

То есть:

OC = OA * exp(i * 60),
OD = OB * exp(i * 60),
OE = OC * exp(i * 60),
OF = OD * exp(i * 60),

где i - мнимая единица, exp - экспонента.

Так как вектор OA = a, вектор OB = b, то:

OC = a * exp(i * 60) = 1/2 (a + i * sqrt(3) * a),
OD = b * exp(i * 60) = 1/2 (b + i * sqrt(3) * b),
OE = c * exp(i * 60) = 1/2 (a - 1/2 b - 1/2 c + i * sqrt(3) * (a + 1/2 b - 1/2 c)),
OF = d * exp(i * 60) = 1/2 (b - 1/2 a - 1/2 d + i * sqrt(3) * (b + 1/2 a - 1/2 d)),

где c и d - векторы, соответствующие сторонам CE и DF шестиугольника.

Ответ: OC = 1/2 (a + i * sqrt(3) * a), OD = 1/2 (b + i * sqrt(3) * b), OE = 1/2 (a - 1/2 b - 1/2 c + i * sqrt(3) * (a + 1/2 b - 1/2 c)), OF = 1/2 (b - 1/2 a - 1/2 d + i * sqrt(3) * (b + 1/2 a - 1/2 d)).