Лучшие помощники
14 октября 2022 18:03
391

Найдите точку минимума функции y=(1–2x)cosx+2sinx+7 принадлежащую промежутку (0; π/2)

2 ответа
Посмотреть ответы
Производная функции:
y'=(1-2x)'\cos x+(1-2x)\cdot (\cos x)'+(2\sin x)'+(7)'=\\ \\ =-2\cos x-\sin x(1-2x)+2\cos x=-\sin x(1-2x)
Приравниваем ее к нулю:
y'=0;\,\,\, (2x-1)\sin x=0
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
2x-1=0\\ x=0.5

\sin x=0\\ \\ x=\arcsin0+\pi n,n \in \mathbb\\ x= \pi n,n \in \mathbb
Для всех n \in \mathbb, все корни не будут принадлежать заданному отрезку.


___-___(0,5)___+_____

В точке x=0.5 функция имеет локальный минимум.
y(0.5)=2\sin(0.5)+7= 0.95+7\approx7.95


(0.5;7.95)\,\,\, - относительный минимум
0
·
Хороший ответ
14 октября 2022 18:03
Находим производную:
y'= (1-2x)'cosx+(1-2x)sin'x+7'=
y'= -2cosx-(1-2x)sinx+2cosx=(2x-1)sinx
y'=(2x-1)sinx, запишем уравнение (2x-1)sinx=0, (x-1/2)sinx=0
построим интервалы знакопостоянства на промежутке (0;
π/2)
0__-__1/2__+__π/2
значит при x∈(0;1/2] y(x) убывает, при x∈[1/2;π/2) y(x) возрастает
значит на промежутке (0;π/2) минимум функции достигается в точке
x=1/2, y=(1-2*1/2)cos(1/2)+2sin(1/2)+7=2sin(1/2)+7
Ответ: x=1/2, y=2sin(1/2)+7≈7,96
0
14 октября 2022 18:03
Остались вопросы?
Найти нужный