Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см. Его катеты вместе с гипотенузой образуют арифметическую прогрессию. Найти площадь треугольника и радиус вписанной в него окружности.

Пусть катеты треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

где a и b - катеты, c - гипотенуза. Подставляя значения, получаем:

$$a^2 + (a + d)^2 = 6^2$$

$$2a^2 + 2ad + d^2 = 36$$

$$a^2 + ad = 18 - \frac{d^2}{2}$$

Также, по определению арифметической прогрессии, мы можем записать:

$$b = a + d$$

$$c = a + 2d$$

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через катеты:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a(a + d)$$

Заменяем b на a + d и получаем:

$$S = \frac{1}{2}(a^2 + ad)$$

Подставляем выражение для a^2 + ad, которое мы получили ранее:

$$S = \frac{1}{2}(18 - \frac{d^2}{2})$$

$$S = 9 - \frac{d^2}{4}$$

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Пусть он равен r. Мы можем выразить его через площадь треугольника и полупериметр p:

$$S = pr$$

Полупериметр равен:

$$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3a + 3d}{2} = \frac{3}{2}(a + d)$$

Подставляем в формулу для площади:

$$9 - \frac{d^2}{4} = \frac{3}{2}(a + d)r$$

$$r = \frac{2}{3}(9 - \frac{d^2}{4})\frac{1}{a + d}$$

Заменяем a + d на c:

$$r = \frac{2}{3}(9 - \frac{d^2}{4})\frac{1}{c}$$

Подставляем выражение для c:

$$r = \frac{2}{3}(9 - \frac{d^2}{4})\frac{1}{a + 2d}$$

Таким образом, мы получили формулы для площади треугольника и радиуса вписанной окружности через разность арифметической прогрессии d. Осталось только решить уравнение для d:

$$2a^2 + 2ad + d^2 = 36$$

$$2a^2 + 2a(a + d) + (a + d)^2 = 36$$

$$3a^2 + 5ad + 2d^2 - 36 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение относительно d:

$$d = \frac{-5a \pm \sqrt{25a^2 - 24(3a^2 - 36)}}{4}$$

$$d = \frac{-5a \pm \sqrt{7a^2 + 576}}{4}$$

Так как d > 0, выбираем положительный знак:

$$d = \frac{-5a + \sqrt{7a^2 + 576}}{4}$$

Теперь мы можем подставить найденное значение d в формулы для площади и радиуса и получить окончательный ответ.