Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см. Его катеты вместе с гипотенузой образуют арифметическую прогрессию. Найти площадь треугольника и радиус вписанной в него окружности.

Пусть катеты треугольника образуют арифметическую прогрессию со знаменателем d. Тогда первый катет будет равен x, второй - x+d, а гипотенуза - x+2d.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

x^2 + (x+d)^2 = (x+2d)^2

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

2x^2 + 2xd = 4d^2

x^2 + xd - 2d^2 = 0

(x-2d)(x+d) = 0

Таким образом, x = 2d (так как x не может быть отрицательным).

Значит, катеты треугольника равны 2d и 3d, а гипотенуза равна 4d. Из условия задачи мы знаем, что гипотенуза равна 6 см, поэтому 4d = 6, а d = 1.5.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

S = 1/2 * 2d * 3d = 3d^2 = 6.75 см^2

Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности мы можем использовать формулу:

r = S / p, где p - полупериметр треугольника (сумма всех сторон, деленная на 2).

Полупериметр равен (2d + 3d + 4d) / 2 = 4.5d, поэтому:

r = 6.75 / 4.5 = 1.5 см

Ответ: площадь треугольника равна 6.75 см^2, радиус вписанной в него окружности равен 1.5 см.