Три окружности с центрам О1 О2 И О3ти радиусами 3,1и 4 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол O_1O_2O_3.

Пусть точки касания окружностей O1 и O2, O2 и O3, O1 и O3 обозначены соответственно A, B и C. Также пусть D - точка пересечения прямых O1O2 и BC, E - точка пересечения прямых O2O3 и AB, F - точка пересечения прямых O1O3 и AB. Тогда треугольники ABD и BEC являются равнобедренными, так как AD = BD (как радиусы окружностей O1 и O2), а BE = CE (как радиусы окружностей O2 и O3). Аналогично, треугольники BFE и CDF являются равнобедренными.

Таким образом, мы можем выразить угол O1O2O3 через углы BAD, ABE, BEF, CEF и CFD:

O1O2O3 = (BAD + ABE) + (BEF + CEF) + CFD

Найдем каждый из этих углов. В треугольнике ABD угол BAD равен:

BAD = 180° - (90° + 90°/2) = 45°

Аналогично, в треугольнике ABE угол ABE равен:

ABE = 180° - (90° + 45°) = 45°

В треугольнике BFE угол BEF равен:

BEF = 180° - (90° + 45°) = 45°

Аналогично, в треугольнике CEF угол CEF равен 45°.

Наконец, в треугольнике CDF угол CFD равен:

CFD = 180° - (90° + 90°/2) = 45°

Таким образом, мы имеем:

O1O2O3 = (45° + 45°) + (45° + 45°) + 45° = 270°

Ответ: угол O1O2O3 равен 270 градусов.