Найдите площадь боковой поверхности правильной пирамиды, в основании которой лежит трегольник со стороной 7

, если апофема пирамиды равна 4

,

9

.

Пусть высота пирамиды равна $h$, а боковое ребро равно $a$. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике, образованном апофемой, половиной бокового ребра и высотой, имеем:
$$
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 4.9^2
$$
Так как основание пирамиды - равносторонний треугольник, то его площадь равна:
$$
S_{\text{осн}} = \frac{7^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{49\sqrt{3}}{4}
$$
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых треугольников. Каждый такой треугольник равнобедренный, поэтому его площадь можно вычислить по формуле $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} a \cdot p$, где $p$ - периметр основания. Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна:
$$
S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} a \cdot \sqrt{a^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \frac{3}{4} a \sqrt{4a^2 - 49}
$$
Осталось найти значение $a$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике, образованном боковым ребром, половиной стороны основания и апофемой:
$$
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = 4.9^2
$$
Решая это уравнение относительно $a$, получаем:
$$
a = \sqrt{\frac{4.9^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2}{2}} \approx 4.321
$$
Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности:
$$
S_{\text{бок}} \approx 35.375
$$
Ответ: $S_{\text{бок}} \approx 35.375$. Единицы измерения не указаны, поэтому ответ дан в произвольных единицах площади.