Треугольник АВС- прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 10 см.

Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника. Расстояние от точки М до прямой АВ

равно 6 см. Найдите длину отрезка СМ.

Поскольку треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный, то его катеты равны и равны 5 см каждый. Тогда отрезок СМ является высотой треугольника АСМ, опущенной на гипотенузу.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы АС:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Тогда площадь треугольника АСМ равна:

$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot CM$

Из условия задачи известно, что расстояние от точки М до прямой АВ равно 6 см, то есть точка М находится на расстоянии 6 см от основания треугольника.

Обозначим основание треугольника АС как х. Тогда основание треугольника СМ равно (х - 6).

Используя формулу для площади треугольника через основание и высоту, получаем:

$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot (х - 6) \cdot CM$

Таким образом, мы получили два выражения для площади треугольника АСМ. Приравняв их, получим уравнение:

$\frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot (х - 6) \cdot CM$

Сокращая на $\frac{1}{2} \cdot CM$, получим:

$5\sqrt{2} = х - 6$

Отсюда находим основание треугольника АС:

$х = 5\sqrt{2} + 6$

Теперь можем найти длину отрезка СМ, используя любое из двух выражений для площади треугольника АСМ:

$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2} + 6 - 6) \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot CM$

$CM = \frac{2}{5\sqrt{2}} \cdot S_{\triangle ACM} = \frac{2}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot CM = \boxed{1}$ см.