Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 24 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, которые равны 5,5 см и 17,5 см. Найдите угол при большем основании трапеции.

Пусть $ABCD$ — наша трапеция, где $AB$ — большее основание, $CD$ — меньшее основание, $M$ — середина боковой стороны $BC$, $MN$ — средняя линия, $ND$ — высота.

Так как $MN$ делит диагональ $AC$ на две равные части, то $AN = NC = \frac{AC}{2}$. Значит, $AM = \frac{AC}{2} - ND$.

Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $BC = AD$. Значит, $AM = \frac{AD - BC}{2} - ND = \frac{AB - CD}{2} - ND$.

По теореме Пифагора в треугольнике $MND$ имеем:

$$
MD^2 = MN^2 - ND^2 = \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2 - ND^2.
$$

Так как $MD = \frac{BC}{2} = 12$ см, а $CD = MN - ND = AM + ND - ND = AM = \frac{AB - CD}{2} - ND$, то мы получаем уравнение на $AB$:

$$
\left(\frac{AB - \frac{AB - CD}{2} + ND}{2}\right)^2 - ND^2 = 12^2.
$$

Упрощая, получаем:

$$
\left(\frac{AB + CD}{4}\right)^2 - ND^2 = 12^2.
$$

Так как $AB + CD = BC + AD = 2BC = 2 \cdot 24 = 48$ см, то мы получаем:

$$
\left(\frac{48}{4}\right)^2 - ND^2 = 12^2.
$$

Отсюда $ND^2 = 144$, то есть $ND = 12$ см.

Теперь мы можем найти $AM$:

$$
AM = \frac{AB - CD}{2} - ND = \frac{AB - CD}{2} - 12.
$$

Так как $AM$ и $ND$ являются катетами прямоугольного треугольника $AMD$, а гипотенуза $AD$ равна $BC = 24$ см, то по теореме Пифагора имеем:

$$
AM^2 + ND^2 = AD^2,
$$

то есть

$$
\left(\frac{AB - CD}{2} - 12\right)^2 + 12^2 = AD^2.
$$

С другой стороны, так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $AD = BC = 24$ см. Значит,

$$
\left(\frac{AB - CD}{2} - 12\right)^2 + 12^2 = 24^2,
$$

откуда

$$
\left(\frac{AB - CD}{2} - 12\right)^2 = 240.
$$

Решая это уравнение, получаем

$$
\frac{AB - CD}{2} - 12 = \pm 4\sqrt{15},
$$

то есть

$$
AB - CD = \pm 8\sqrt{15} + 24.
$$

Так как $AB > CD$, то

$$
AB - CD = 8\sqrt{15} + 24.
$$

Наконец, мы можем найти угол при большем основании:

$$
\tan \angle A = \frac{ND}{AM} = \frac{12}{\frac{AB - CD}{2} - 12} = \frac{12}{8\sqrt{15} + 12}.
$$

Дальше можно использовать калькулятор или рационализировать знаменатель:

$$
\tan \angle A = \frac{12}{8\sqrt{15} + 12} \cdot \frac{8\sqrt{15} - 12}{8\sqrt{15} - 12} = \frac{96\sqrt{15} - 144}{96} = \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{3}{2}.
$$

Ответ: угол при большем основании равен $\arctan \left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{3}{2}\right)$.