Мелкие доноры в арсениде галлия, описываются водородоподобной моделью примеси. Оценить концентрация мелких доноров, при которой нижняя граница интервала температур, в котором концентрация электронов постоянная и равна концентрации доноров равна 4 К. Масса плотности состояний в зоне проводимости равна 0,067m0. Диэлектрическая проницаемость равна 12. Соответствует ли такая концентрация мелких доноров условию слабого легирования.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для концентрации мелких доноров в арсениде галлия:

n = N_D * exp(-E_D / kT)

где n - концентрация доноров, N_D - плотность доноров, E_D - энергия ионизации доноров, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Мы хотим найти концентрацию доноров, при которой нижняя граница интервала температур, в котором концентрация электронов постоянная и равна концентрации доноров, равна 4 К. Это означает, что нам нужно найти такое значение концентрации доноров, при котором:

n = p = 4 * 10^6 см^-3

где p - концентрация электронов.

Мы также знаем, что масса плотности состояний в зоне проводимости равна 0,067m0, где m0 - масса электрона.

Для оценки концентрации доноров мы можем использовать условие слабого легирования, которое гласит, что концентрация легирующих примесей должна быть меньше концентрации свободных носителей заряда (в данном случае - электронов).

Для арсенида галлия это условие выполняется, если концентрация доноров меньше 10^18 см^-3.

Теперь мы можем решить задачу. Подставляя известные значения в формулу для концентрации доноров, получаем:

4 * 10^6 = N_D * exp(-E_D / kT)

0,067m0 = (2π / h^2) * (2m_e * kT / π)^(3/2) * exp(-E_C / kT)

где E_C - энергия дна зоны проводимости, h - постоянная Планка, m_e - масса электрона.

Из второго уравнения можно выразить температуру:

T = E_C / (k * ln[(2π / h^2) * (2m_e / π)^(3/2) * 1 / (0,067m0)])

Подставляя это значение температуры в первое уравнение, получаем:

4 * 10^6 = N_D * exp(-E_D / k * E_C / (k * ln[(2π / h^2) * (2m_e / π)^(3/2) * 1 / (0,067m0)]))

Выражая отсюда N_D, получаем:

N_D = 4 * 10^6 / exp(-E_D / k * E_C / (k * ln[(2π / h^2) * (2m_e / π)^(3/2) * 1 / (0,067m0)]))

Подставляя известные значения, получаем:

N_D = 2.7 * 10^16 * exp(E_D / 0.86k)

Для того чтобы найти E_D, нам нужно знать диэлектрическую проницаемость материала. Для арсенида галлия она равна 12. Используя формулу для энергии ионизации доноров:

E_D = 13.1 / ε_r

где ε_r - диэлектрическая проницаемость материала, получаем:

E_D = 13.1 / 12 = 1.09 эВ

Подставляя это значение в выражение для N_D, получаем:

N_D = 2.7 * 10^16 * exp(1.09 / 0.86) = 1.6 * 10^18 см^-3

Эта концентрация доноров больше, чем максимально допустимая для условия слабого легирования. Однако, для решения задачи мы использовали упрощенную модель водородоподобной примеси, которая не учитывает взаимодействие между донорами. В реальности, такое взаимодействие может привести к образованию комплексов, что может снизить эффективную концентрацию доноров.