Лучшие помощники
- Megamozg 2180 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1685 б
- arkasha_bortnikov 805 б
- Dwayne_Johnson 800 б
Энергетический спектр электронов и волновые функции электронов в квантовой точке описываются моделью потенциального ящика с бесконечными стенками кубической формы со стороной a=5 нм. Эффективная масса электронов равна 1/10 массы свободного электрона. В квантовой точке находиться 5 электронов. Чему равна энергия наивысшего уровня, на котором есть хотя бы 1 электрон? Чему равен полный спин 5-ми электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда?
1
ответ
Для кубической квантовой точки со стороной a=5 нм энергии уровней определяются формулой:
$$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m^*}\left(\frac{n_x^2}{a^2}+\frac{n_y^2}{a^2}+\frac{n_z^2}{a^2}\right)$$
где $n_x, n_y, n_z$ - целые числа, определяющие уровни энергии, $m^*$ - эффективная масса электрона, $a$ - размер кубической квантовой точки.
Наивысший уровень, на котором есть хотя бы 1 электрон, будет иметь наименьшую энергию. Этот уровень соответствует $n_x=n_y=n_z=1$. Тогда энергия этого уровня будет:
$$E_{1,1,1}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m^*}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\right)=\frac{3\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Полный спин 5-ти электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда будет равен сумме спинов электронов, если они находятся в разных орбиталях, и максимальному спину, если они находятся в одном орбитале.
Так как в квантовой точке находится 5 электронов, то они будут занимать уровни энергии с $n_x+n_y+n_z=3$ и $n_x+n_y+n_z=4$. По правилам Хунда, первые 4 электрона будут заполнять уровни с наименьшими значениями спина, а 5-ый электрон займет орбиталь с максимальным спином.
Уровни с $n_x+n_y+n_z=3$ имеют энергии:
$$E_{1,1,1}=\frac{3\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
$$E_{2,1,0}=\frac{5\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
$$E_{2,2,0}=\frac{6\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Таким образом, первые 4 электрона будут занимать уровни с $n_x+n_y+n_z=3$ и спинами $s=1/2$ (два электрона) и $s=0$ (два электрона).
5-ый электрон займет орбиталь с максимальным спином, которая соответствует уровню с $n_x+n_y+n_z=4$ и $n_x=n_y=n_z=2$. Энергия этого уровня будет:
$$E_{2,2,2}=\frac{12\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Спин этой орбитали будет равен $s=3/2$.
Таким образом, полный спин 5-ти электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда будет равен:
$$S=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot 0+\frac{3}{2}=2$$
$$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m^*}\left(\frac{n_x^2}{a^2}+\frac{n_y^2}{a^2}+\frac{n_z^2}{a^2}\right)$$
где $n_x, n_y, n_z$ - целые числа, определяющие уровни энергии, $m^*$ - эффективная масса электрона, $a$ - размер кубической квантовой точки.
Наивысший уровень, на котором есть хотя бы 1 электрон, будет иметь наименьшую энергию. Этот уровень соответствует $n_x=n_y=n_z=1$. Тогда энергия этого уровня будет:
$$E_{1,1,1}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m^*}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\right)=\frac{3\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Полный спин 5-ти электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда будет равен сумме спинов электронов, если они находятся в разных орбиталях, и максимальному спину, если они находятся в одном орбитале.
Так как в квантовой точке находится 5 электронов, то они будут занимать уровни энергии с $n_x+n_y+n_z=3$ и $n_x+n_y+n_z=4$. По правилам Хунда, первые 4 электрона будут заполнять уровни с наименьшими значениями спина, а 5-ый электрон займет орбиталь с максимальным спином.
Уровни с $n_x+n_y+n_z=3$ имеют энергии:
$$E_{1,1,1}=\frac{3\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
$$E_{2,1,0}=\frac{5\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
$$E_{2,2,0}=\frac{6\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Таким образом, первые 4 электрона будут занимать уровни с $n_x+n_y+n_z=3$ и спинами $s=1/2$ (два электрона) и $s=0$ (два электрона).
5-ый электрон займет орбиталь с максимальным спином, которая соответствует уровню с $n_x+n_y+n_z=4$ и $n_x=n_y=n_z=2$. Энергия этого уровня будет:
$$E_{2,2,2}=\frac{12\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Спин этой орбитали будет равен $s=3/2$.
Таким образом, полный спин 5-ти электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда будет равен:
$$S=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot 0+\frac{3}{2}=2$$
0
·
Хороший ответ
2 мая 2023 16:51
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Физика
Плотность ртути р=13600 кг/м^3.Что это означает?...
Поиск результатов по фразе "модуль силы взаимодействия между двумя неподвижными точечными заряженными телами равен F. Чему станет равен модуль этой си...
Какой буквой обозначается частота в физике?...
расстояние между соседними частицами вещества мало(они практически соприкасаются) Это утверждение соответствует модели 1) только твердых тел 2) только...
Как изменится давление идеального газа, если при неизменной концентрации средняя квадратичная скорость молекул увеличится в 2 раза ?...
Все предметы