Энергетический спектр электронов и волновые функции электронов в квантовой точке описываются моделью потенциального ящика с бесконечными стенками кубической формы со стороной a=5 нм. Эффективная масса электронов равна 1/10 массы свободного электрона. В квантовой точке находиться 5 электронов. Чему равна энергия наивысшего уровня, на котором есть хотя бы 1 электрон? Чему равен полный спин 5-ми электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда?

Для кубической квантовой точки со стороной a=5 нм энергии уровней определяются формулой:
$$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m^*}\left(\frac{n_x^2}{a^2}+\frac{n_y^2}{a^2}+\frac{n_z^2}{a^2}\right)$$
где $n_x, n_y, n_z$ - целые числа, определяющие уровни энергии, $m^*$ - эффективная масса электрона, $a$ - размер кубической квантовой точки.

Наивысший уровень, на котором есть хотя бы 1 электрон, будет иметь наименьшую энергию. Этот уровень соответствует $n_x=n_y=n_z=1$. Тогда энергия этого уровня будет:
$$E_{1,1,1}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m^*}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\right)=\frac{3\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$

Полный спин 5-ти электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда будет равен сумме спинов электронов, если они находятся в разных орбиталях, и максимальному спину, если они находятся в одном орбитале.

Так как в квантовой точке находится 5 электронов, то они будут занимать уровни энергии с $n_x+n_y+n_z=3$ и $n_x+n_y+n_z=4$. По правилам Хунда, первые 4 электрона будут заполнять уровни с наименьшими значениями спина, а 5-ый электрон займет орбиталь с максимальным спином.

Уровни с $n_x+n_y+n_z=3$ имеют энергии:
$$E_{1,1,1}=\frac{3\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
$$E_{2,1,0}=\frac{5\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
$$E_{2,2,0}=\frac{6\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Таким образом, первые 4 электрона будут занимать уровни с $n_x+n_y+n_z=3$ и спинами $s=1/2$ (два электрона) и $s=0$ (два электрона).

5-ый электрон займет орбиталь с максимальным спином, которая соответствует уровню с $n_x+n_y+n_z=4$ и $n_x=n_y=n_z=2$. Энергия этого уровня будет:
$$E_{2,2,2}=\frac{12\hbar^2\pi^2}{2m^*a^2}$$
Спин этой орбитали будет равен $s=3/2$.

Таким образом, полный спин 5-ти электронов в квантовой точке в основном состоянии с учётом правил Хунда будет равен:
$$S=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot 0+\frac{3}{2}=2$$