В полупроводниковой сверхрешетке наблюдаются осцилляции магиитосопротивления. При наблюдении осцилляций магнитная индукция направлена вдоль оси сверхрешётки, а электрический ток — перпендикулярно оси. В осцилляциях наблюдаются биения, т. е. присутствуют две близкие частоты осцилляций. Частота биений (низкочастотных изменений амплитуды осцилляций) равна. 1 Тл. Энергетический спектр сверхрешётки описывается

моделью сильной связи E=E + p2x+p2y −2t cos(pz d) . Эффективная масса электронов m равна 0 2m ħ

1/100 массы свободного электрона. Чему равен интеграл туннелирования t?

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для частоты осцилляций магнитосопротивления в сверхрешетке:

f = (2eB)/(h * d)

где e - заряд электрона, B - магнитная индукция, h - постоянная Планка, d - расстояние между слоями сверхрешетки.

Из условия задачи известно, что f = 1 Тл = 1/(2π) Гц, B направлена вдоль оси сверхрешетки, поэтому её значение не влияет на решение задачи. Также известно, что электрический ток направлен перпендикулярно оси сверхрешетки, поэтому эффективный массовый транспортный коэффициент равен m.

Осталось выразить расстояние между слоями сверхрешетки d через интеграл туннелирования t и эффективную массу электрона m. Для этого воспользуемся формулой для энергетического спектра сверхрешетки:

E = E0 + (p_x^2 + p_y^2)/(2m) - 2t*cos(p_z*d)

где E0 - энергия валентной зоны, p_x, p_y, p_z - импульсы в разных направлениях.

Минимум энергии достигается при p_x = p_y = 0, поэтому

E = E0 - 2t*cos(p_z*d)

Дифференцируя это выражение по p_z, получаем

dp_z = (sin(p_z*d)*dt)/sqrt((E - E0)/2m)

Интегрируя это выражение от 0 до π/d, получаем

π/d = ∫(0 to π/d) dp_z = ∫(E_min to E_max) sqrt((E - E0)/2m)/|sin(p_z*d)| dE

Заменяя знак модуля на знак в интеграле, получаем

π/d = 2∫(E_min to E_max) sqrt((E - E0)/2m) cos(p_z*d) dE

Для упрощения вычислений заменим E на E0 + ΔE, где ΔE << E0. Тогда

π/d = 2∫(0 to ΔE) sqrt(ΔE/2m) cos(p_z*d) dΔE

= 2sqrt(ΔE/2m) * sin(p_z*d) |(0 to ΔE)

= 2sqrt(ΔE/2m) * sin(p_z*d)

Таким образом, интеграл туннелирования t равен

t = (ħ^2/(2m*d^2)) * cos(π/d)

Подставляя известные значения, получаем

t = (ħ^2/(0.4m*d^2)) * cos(π/d)

Осталось найти значение d из формулы для частоты осцилляций:

f = (2eB)/(h * d)

d = (2eB)/(h * f)

Подставляя это значение в выражение для t, получаем

t = (ħ^2*h^2*f^2)/(0.4m*(2eB)^2) * cos(2πh/eB)

Ответ: интеграл туннелирования t равен (ħ^2*h^2*f^2)/(0.4m*(2eB)^2) * cos(2πh/eB).