Концентрацией электронов в графене управляют при помощи полевого электрода при температуре близкой к 0 К. При какой концентрации электронов циклотронная масса электронов с энергией равной энергии Ферми равна одной сотой от массы свободного электрона?

Для графена циклотронная частота определяется формулой:

$$\omega_c = \frac{eB}{m^*}$$

где $e$ - заряд электрона, $B$ - магнитное поле, $m^*$ - эффективная масса электрона в графене.

Эффективная масса электрона в графене зависит от его энергии и определяется формулой:

$$m^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k^2}}$$

где $E$ - энергия электрона, $k$ - волновой вектор электрона.

Энергия Ферми для графена при комнатной температуре составляет около 0,4 электрон-вольт. При температуре близкой к 0 К она будет немного выше.

Для того, чтобы циклотронная масса электрона была равна одной сотой от массы свободного электрона ($m_e$), необходимо решить уравнение:

$$\frac{\hbar eB}{m^*} = \frac{\hbar eB}{m_e \cdot 100}$$

Выразим эффективную массу через производную энергии по волновому вектору:

$$m^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k^2}} = \frac{\hbar^2}{v_F^2}$$

где $v_F$ - скорость Ферми.

Подставим выражение для эффективной массы в уравнение для циклотронной частоты:

$$\frac{eB}{m^*} = \frac{eBv_F^2}{\hbar^2}$$

Приравняем выражения для циклотронной массы и решим уравнение относительно концентрации электронов:

$$\frac{eBv_F^2}{\hbar^2} = \frac{eB}{m_e \cdot 100}$$

$$n = \frac{100}{\pi r_e^2} = \frac{100}{\pi (\frac{\hbar}{m_e v_F e})^2} \approx 2 \cdot 10^{12} \text{см}^{-2}$$

где $r_e$ - радиус электрона.

Таким образом, при концентрации электронов около $2 \cdot 10^{12} \text{см}^{-2}$ циклотронная масса электронов с энергией равной энергии Ферми будет равна одной сотой от массы свободного электрона.