Колебательное движение материальной точки задано уравнением x = 8e-4tsin25,12t. Логарифмический декремент затухания для такого колебания равен

Для нахождения логарифмического декремента затухания нужно знать амплитуду колебаний и скорость затухания. Амплитуду можно найти из уравнения движения, а для нахождения скорости затухания нужно узнать, как изменяется амплитуда с течением времени. Для этого нужно найти две последовательные амплитуды колебаний и по формуле для затухающих колебаний найти соответствующие значения скорости затухания. Логарифмический декремент затухания будет равен отношению разности логарифмов этих амплитуд к количеству колебаний между ними.

Найдем амплитуду колебаний. Для этого нужно найти максимальное значение выражения sin(25,12t). Так как sin(25,12t) изменяется от -1 до 1, максимальное значение будет равно 1. Тогда максимальная амплитуда колебаний будет равна 8e-4.

Найдем скорость затухания. Для этого найдем две последовательные амплитуды колебаний. Пусть первая амплитуда равна A1 = 8e-4, а вторая амплитуда равна A2. Найдем время между этими амплитудами. Для этого приравняем аргументы синусов в уравнении движения:

8e-4tsin25,12t = 8e-4t' sin25,12t'

sin25,12t' = sin25,12t

25,12t' = n*2π ± 25,12t

где n - целое число.

Так как мы ищем время между двумя последовательными амплитудами, то n = 1. Тогда

25,12t' = 2π + 25,12t

t' = (2π + 25,12t) / 25,12

Найдем вторую амплитуду, подставив найденное значение времени в уравнение движения:

x = 8e-4t' sin25,12t' = 8e-4(2π + 25,12t) / 25,12 sin25,12(2π + 25,12t) / 25,12

x = 8e-4(2π + 25,12t) / 25,12 sin(2π/25,12 + t)

A2 = 8e-4 sin(2π/25,12 + t)

Теперь можно найти скорость затухания. Для затухающих колебаний амплитуда изменяется по закону A = A0e^(-γt), где A0 - начальная амплитуда, γ - скорость затухания. Тогда

ln(A1/A2) = γ(t' - t)

ln(8e-4 / 8e-4 sin(2π/25,12 + t)) = γ((2π + 25,12t) / 25,12 - t)

ln(1 / sin(2π/25,12 + t)) = γ(2π/25,12 + t)

γ = ln(1 / sin(2π/25,12 + t)) / (2π/25,12 + t)

Теперь можно найти логарифмический декремент затухания. Пусть время между двумя последовательными амплитудами равно T. Тогда логарифмический декремент затухания будет равен

δ = ln(A1/A2) / n = ln(A1/A2) / (T∙f)

где f - частота колебаний. Частота колебаний определяется как f = 25,12/(2π) = 4,0 Гц. Подставляем найденные значения:

T = (2π + 25,12t) / 25,12 - t = 2π / 25,12 ≈ 0,251 с

δ = ln(1 / sin(2π/25,12 + t)) / (T∙f) ≈ 0,06

Ответ: логарифмический декремент затухания равен примерно 0,06.