Решить задачу. В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45 градусов. Найдите длину диагонали ВD, если меньшее основание трапеции равно 11, умноженное на корень квадратный из 3.

Пусть $AD = a$, $BC = b$, $AC = x$. Так как $AC$ является биссектрисой угла $A$, то $AB = AC = x$. Также из прямоугольности трапеции $ABCD$ следует, что $BC = AD = a$. Таким образом, получаем систему уравнений:

$$
\begin{cases}
x^2 = a^2 + b^2 \\
x = a\sqrt{2}
\end{cases}
$$

Решая ее, находим:

$$
\begin{aligned}
b^2 &= x^2 - a^2 = (a\sqrt{2})^2 - a^2 = a^2 \\
b &= a
\end{aligned}
$$

Таким образом, трапеция $ABCD$ является равнобедренной, и ее диагонали равны. Из условия задачи известно, что $AD = a = 11\sqrt{3}$, поэтому $BD = 2a = 22\sqrt{3}$. Ответ: $BD = 22\sqrt{3}$.