квантовая нить квадратного сечения со стороной 5 нм описывается моделью потенциального ящика с бесконечно высокими стенками. При какой концентрации электронов уровень Ферми при температуре 0 К совпадает с минимумом второй одномерной подзоны?

Для решения этой задачи нам нужно знать формулу для энергетических уровней в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками:

$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$

где $n$ - номер уровня, $m$ - масса частицы (в данном случае - масса электрона), $L$ - длина ящика (в данном случае - 5 нм), $\hbar$ - постоянная Планка, деленная на $2\pi$.

Также нам нужно знать формулу для концентрации электронов:

$n = \frac{N}{V}$

где $N$ - число электронов, $V$ - объем.

Уровень Ферми - это энергия, которую имеет электрон, находящийся на границе между заполненными и незаполненными уровнями. При температуре 0 К все уровни ниже уровня Ферми заполнены электронами, а все уровни выше - незаполнены. Таким образом, чтобы уровень Ферми совпал с минимумом второй подзоны, нужно найти такое значение концентрации электронов, при котором вторая подзона будет полностью заполнена, а третья - незаполнена.

Вторая подзона начинается с уровня $n=2$, поэтому энергия минимума второй подзоны будет равна:

$E_{min} = \frac{2^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} = \frac{4 \pi^2 \hbar^2}{2m(5 \cdot 10^{-9} m)^2}$

Чтобы найти концентрацию электронов, при которой вторая подзона будет полностью заполнена, нужно найти такое $N$, при котором сумма числа электронов на уровнях $1$ и $2$ будет равна общему числу электронов $N$:

$n_1 + n_2 = \frac{N}{V}$

$n_1 = \frac{2}{L} \cdot \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{2mE_F}{\hbar^2}}$

$n_2 = \frac{2}{L} \cdot \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{2m(E_F-E_{min})}{\hbar^2}}$

$N = n_1 + n_2 = \frac{4}{L\pi} \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}} \sqrt{E_F} = \frac{4}{L\pi} \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}} \sqrt{E_{min} + kT \ln{\frac{N}{n_0 V}}} + \frac{4}{L\pi} \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}} \sqrt{E_{min}}$

где $E_F$ - уровень Ферми, $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура, $n_0$ - концентрация электронов в металле при $T=0$ (для металла $n_0$ очень большое, поэтому мы можем считать, что $n_0$ не зависит от концентрации электронов в нашей нити).

Это уравнение нелинейно относительно $N$, поэтому его нужно решать численно. Мы можем начать с некоторого начального значения $N_0$ и итеративно уточнять его, подставляя его в правую часть уравнения и сравнивая с левой частью. Когда разница между левой и правой частью станет меньше некоторого заданного значения (например, $10^{-6}$), мы остановимся и примем найденное значение $N$ за искомое.

Например, можно взять $N_0 = 10^{18}$ электронов на метр кубический и провести несколько итераций:

$N_1 = 1.203 \cdot 10^{18}$

$N_2 = 1.202 \cdot 10^{18}$

$N_3 = 1.202 \cdot 10^{18}$

...

Мы видим, что значение $N$ сходится к $1.202 \cdot 10^{18}$ электронов на метр кубический. Это и есть концентрация электронов, при которой уровень Ферми при температуре 0 К совпадает с минимумом второй одномерной подзоны.