точки M и K - середины сторон HT и TC треугольника HTC соответственно. Точки P и D лежат на стороне HC, причем P лежит между H и D. Известно, что угол HPM=углу TPM, угол CDK=углу TDK. Периметр треугольника TPD=20. Найдите MK

Обозначим угол HPM и TPM через $\alpha$, а угол CDK и TDK через $\beta$. Тогда по условию задачи:
$$\angle HPM = \angle TPM = \alpha, \qquad \angle CDK = \angle TDK = \beta.$$
Заметим также, что $\angle HTD = \angle HPT + \angle DTK$ и $\angle HTC = \angle HPC + \angle CTK$. С другой стороны, $\angle HTD = \angle HTC$, так как это угол между параллельными прямыми $HT$ и $CD$. Значит,
$$\angle HPT + \angle DTK = \angle HPC + \angle CTK.$$
Выразим $\angle HPT$ и $\angle DTK$ через $\alpha$ и $\beta$:
$$\angle HPT = \angle HPM - \angle TPM = \alpha - \alpha = 0, \qquad \angle DTK = \angle CDK - \angle TDK = \beta - \beta = 0.$$
Таким образом, получаем, что
$$\angle HPC = \angle CTK, \qquad \angle HPT = \angle DTK = 0.$$
Отсюда следует, что $HP = PC$ и $DT = TK$. Обозначим $x = HP = PC$ и $y = DT = TK$. Тогда $HC = HP + PC = 2x$ и $TC = TD + DC = y + HC = y + 2x$.
Заметим, что треугольники $MHT$ и $KTC$ подобны (они имеют два равных угла: $\angle HMT = \angle KTC$ и $\angle MHT = \angle TCK$), причем коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$ (так как $MK$ является медианой в треугольнике $HTC$). Значит,
$$\frac{MK}{TC} = \frac{1}{2},$$
откуда $MK = \frac{1}{2} TC = \frac{1}{2}(y + 2x)$. Также из условия задачи следует, что периметр треугольника $TPD$ равен $20$, то есть $TP + PD + TD = 20$. Заметим, что $TP = HC - HP = 2x - y$ и $PD = DC - PC = HC - 2x = y$. Тогда
$$2x - y + y + y = 20,$$
откуда $x = 6$ и $y = 4$. Итак, $MK = \frac{1}{2}(y + 2x) = \frac{1}{2}(4 + 2\cdot 6) = \boxed{8}$.