1. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, √8 см, а два угла треугольника равны по 45°. Найдите стороны треугольника АВС.

2. В равнобедренном треугольнике ABC ∠B = 120°, О – точка пересечения биссектрис. Окружность радиуса 2√3 см вписана в этот треугольник и касается прямых ВС и АС в точках D и Е соответственно. Найдите ВО и ∠BED.

3. Трапеция ABCD вписана в окружность, ∠A = 60°, ∠ABD = 90°, CD = 4 см.

1. Пусть сторона треугольника АВС равна а. Так как угол ВАС равен 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр), то по теореме Пифагора получаем:
а² + а² = (2√8)²
2а² = 32
а² = 16
а = 4√2
Таким образом, стороны треугольника АВС равны 4√2, 4√2 и 4.

2. Пусть сторона треугольника ABC равна а. Так как угол В равен 120°, то угол АСВ равен 60°, а значит, угол АОВ равен 30°. Также заметим, что треугольник АОВ является равносторонним, так как О лежит на биссектрисе угла ВАС. Значит, ВО равно 2√3.

Теперь рассмотрим треугольник BED. Заметим, что он также является равносторонним, так как DE и BD равны радиусу вписанной окружности. Значит, ∠BED равен 60°.

3. Пусть AB и CD являются основаниями трапеции ABCD, причем AB > CD. Так как ∠ABD = 90°, то AD является высотой трапеции. Пусть AC = b, BD = a, AD = h.

Так как трапеция ABCD вписана в окружность, то AB = CD + AD, то есть AB = 4 + h. Также заметим, что ∠ACB = 120° (вписанный угол, опирающийся на дугу АВ), а значит, по теореме косинусов:
b² = a² + ab + h² - 2abh*cos(120°)
b² = a² + ab + h² + ab
b² = a² + 2ab + h²

Теперь заметим, что ∠BAC = 60° (вписанный угол, опирающийся на дугу ВС), а значит, по теореме косинусов:
b² = a² + h² - 2ah*cos(60°)
b² = a² + h² - ah

Таким образом, мы получили систему уравнений:
b² = a² + 2ab + h²
b² = a² + h² - ah
Решая ее, получаем:
a = 2√3 см
b = 2√3 + 2 см
h = 2 см