В основании тетраэдра PABC правильный треугольник ABC, боковые рёбра тетраэдра равны. Найдите градусную меру угла между прямой PC и плоскостью основания тетраэдра, если PA:BC=2:3.

Обозначим через $O$ центр основания треугольной пирамиды $PABC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, то $O$ совпадает с центром описанной окружности этого треугольника. Проведём высоту $OH$ пирамиды $PABC$ из вершины $P$ на плоскость $ABC$. Тогда $OH$ является высотой правильного треугольника $ABC$, и $OP$ является медианой этого треугольника. Значит, $OP$ делит $OH$ пополам. Обозначим $R$ — середину отрезка $OH$. Так как $OH$ является биссектрисой угла $POC$, то точка $R$ лежит на прямой $PC$. Далее, так как $OR$ является медианой треугольника $OHP$, то $OR$ делит угол $POH$ пополам. Обозначим через $\alpha$ угол $POH$. Тогда угол между прямой $PC$ и плоскостью основания равен углу $ROC$, который равен $90^\circ - \alpha/2$.

Осталось найти $\alpha$. Обозначим $a = BC$ — длину стороны треугольника $ABC$. Так как $PA : BC = 2 : 3$, то $PA = 2a/5$. Обозначим через $H$ высоту треугольника $ABC$ и через $R'$ середину отрезка $OH$. Тогда $PR' = OP/2 = OH/2 = H/2 \cdot \sqrt{3}$. Значит,
$$
\tan \alpha = \frac{PR'}{PA} = \frac{H\sqrt{3}/2}{2a/5} = \frac{5H\sqrt{3}}{4a}.
$$
С другой стороны, $\tan \alpha = OH/OP = H/\sqrt{4a^2/25 - H^2}$. Сравнивая два выражения для $\tan \alpha$, получаем уравнение на $H$:
$$
\frac{5H\sqrt{3}}{4a} = \frac{H}{\sqrt{4a^2/25 - H^2}},
$$
откуда $H = a\sqrt{3}/2$. Значит,
$$
\tan \alpha = \frac{5H\sqrt{3}}{4a} = \frac{5a\sqrt{3}}{8a} = \frac{5\sqrt{3}}{8},
$$
и угол между прямой $PC$ и плоскостью основания равен $90^\circ - \alpha/2 = \boxed{60^\circ}$.