Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно 8 см, а её боковое ребро равно 4√7 см. Чему равен косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды?

Для решения задачи воспользуемся формулой косинуса для треугольника, образованного боковым ребром, высотой, опущенной на основание, и стороной основания:

$$\cos\alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab},$$

где $a$ и $b$ - стороны треугольника, $c$ - гипотенуза (боковое ребро), $\alpha$ - угол между сторонами $a$ и $b$.

Для нашей пирамиды $a$ и $c$ равны длине бокового ребра, то есть $a = c = 4\sqrt{7}$, а $b$ равна длине стороны основания, то есть $b = 8$. Найдём теперь высоту пирамиды, опущенную на основание. Она является биссектрисой треугольника, образованного сторонами основания и высотой пирамиды, и делит его на два подобных треугольника соотношением сторон $b:2c$. Значит,

$$h = \frac{2}{b+2c}\sqrt{s(s-b)(s-2c)},$$

где $s = (b+2c)/2$ - полупериметр треугольника.

Подставляя значения $b$, $c$ и $s$, получаем:

$$h = \frac{2}{8+2\cdot4\sqrt{7}}\sqrt{\frac{8+2\cdot4\sqrt{7}}{2}\cdot\frac{8-2\cdot4\sqrt{7}}{2}\cdot\frac{8}{2}-4\cdot(4\sqrt{7}/2)^2} = \frac{8}{3}\sqrt{2}-\frac{16}{3}\sqrt{7}.$$

Теперь можем вычислить косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды:

$$\cos\alpha = \frac{h}{c} = \frac{\frac{8}{3}\sqrt{2}-\frac{16}{3}\sqrt{7}}{4\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{2}-4\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}.$$

Ответ: $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}-4\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}$.