В равнобедренном треугольнике АВС известны длины сторон АВ = ВС = 5, АС = 6. 

Найдите сумму расстояний от точки М, взятой на основании АС, до боковых сторон 

треугольника.

Пусть точка $M$ делит сторону $AC$ на отрезки $AM = x$ и $MC = 6 - x$. Обозначим через $P$ и $Q$ точки пересечения отрезка $BM$ со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно (см. рисунок).

[asy]
pair A, B, C, M, P, Q;
A = (-2,0);
B = (0,3);
C = (2,0);
M = (0,0);
P = (B+C)/2;
Q = intersectionpoint(B--M, A--C);
draw(A--B--C--A);
draw(B--M);
draw(A--C);
draw(M--P);
draw(B--Q);
label("$A$", A, SW);
label("$B$", B, N);
label("$C$", C, SE);
label("$M$", M, S);
label("$P$", P, NE);
label("$Q$", Q, W);
label("$x$", (A+M)/2, S);
label("$6-x$", (C+M)/2, S);
[/asy]

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BP = BQ$. Кроме того, треугольники $BMP$ и $BMQ$ подобны, так как у них соответственные углы равны (угол $BMQ$ общий, а угол $MBP$ и угол $MBQ$ соответственные вертикальные углы). Значит, отрезок $BQ$ равен $x$ раз отрезку $BP$.

Таким образом, $BP = \frac{5}{2}$ (половина основания $AC$) и $BQ = \frac{5x}{6}$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $MQ$, которое по теореме Пифагора равно
$$
MQ = \sqrt{BM^2 - BQ^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{5x}{6}\right)^2} = \frac{\sqrt{180 - 25x^2}}{6}.
$$
Аналогично, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно $MP$, которое по теореме Пифагора равно
$$
MP = \sqrt{BM^2 - BP^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{75}}{2}.
$$

Суммируя полученные выражения, получаем, что сумма расстояний от точки $M$ до боковых сторон треугольника равна
$$
MQ + MP = \frac{\sqrt{180 - 25x^2}}{6} + \frac{\sqrt{75}}{2}.
$$
Осталось найти $x$. Для этого заметим, что треугольник $ABC$ является прямоугольным со сторонами $AB = BC = 5$ и $AC = 6$. По теореме Пифагора имеем
$$
AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad\Rightarrow\quad 6^2 = 5^2 + BC^2 \quad\Rightarrow\quad BC = \sqrt{11}.
$$
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BC = 5$, откуда $\sqrt{11} = 5$. Теперь можем найти $x$ из уравнения
$$
AM + MC = AC \quad\Rightarrow\quad x + (6 - x) = 6 \quad\Rightarrow\quad x = 3.
$$
Подставляя $x = 3$ в выражение для суммы расстояний, получаем
$$
MQ + MP = \frac{\sqrt{180 - 25\cdot 3^2}}{6} + \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{\sqrt{45}}{2} + \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{2}.
$$

Итак, сумма расстояний от точки $M$ до боковых сторон треугольника равна $\boxed{\frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{2}}$.