Касательная к вписанной окружности треугольника ABC пересекает стороны AC и BC в точках D и K соответственно. Известно, что AB=8 см, BC=10 см, AC=14 см. Найдите периметр треугольника DCK.

Первым шагом найдем радиус вписанной окружности. Для этого воспользуемся формулой:

$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$,

где $p$ - полупериметр треугольника, $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника.

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+10+14}{2} = 16$

$r = \sqrt{\frac{(16-8)(16-10)(16-14)}{16}} = 2$

Теперь построим касательные к окружности из точек $D$ и $K$. Они будут равны, так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны по длине. Обозначим длину касательной как $x$.

Так как $AD$ и $CK$ являются высотами треугольника $ABC$, то мы можем записать следующие соотношения:

$AD = \frac{2S}{AC} = \frac{2\cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r}{AC} = \frac{8}{7}$

$CK = \frac{2S}{BC} = \frac{2\cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r}{BC} = \frac{4}{5} \cdot 2 = \frac{8}{5}$

Теперь можем найти длину стороны $DC$:

$DC = AC - AD - CK = 14 - \frac{8}{7} - \frac{8}{5} = \frac{22}{35}$

Периметр треугольника $DCK$ будет равен:

$P = DC + CK + KD = \frac{22}{35} + \frac{8}{5} + \frac{8}{5} = \frac{134}{35} \approx 3.83$ см.