Задание 1.

Заданы основание a и биссектриса b, проведённая к этому основанию, равнобедренного треугольника. Постройте данный равнобедренный треугольник с помощью циркуля и линейки.

При решении обязательно нарисуйте заданные по условию отрезки a и b, которые будут использованы для построения.

Решение выполните в 4 этапа:

Этап 1: анализ задачи. Используйте свойства равнобедренного треугольника и определите простейшие построения, которые вам понадобятся для решения задачи (20 баллов).

Этап 2: построение. Запишите план построения и выполните действия по плану (35 баллов).

Этап 3: доказательство. Докажите, что треугольник, построенный на этапе 2, – равнобедренный, в котором длина основания равна a и длина биссектрисы – b (25 баллов).

Этап 4: исследование. Поясните, сколько решений имеет задача при заданных значениях a и b. Всегда ли задача будет иметь решение при различных значениях a и b? (20 баллов)

Этап 1: анализ задачи.
Свойства равнобедренного треугольника:
- две стороны равны между собой
- два угла при основании равны между собой

Для построения данного равнобедренного треугольника нам понадобятся следующие построения:
- построение отрезка длины a
- построение угла в 90 градусов
- построение биссектрисы угла

Этап 2: построение.
1. Нарисуем отрезок длины a
2. Из одного конца отрезка проведем луч под углом 45 градусов (половина от 90 градусов)
3. На этом луче отложим отрезок длины b
4. Из конца отрезка b, лежащего на луче, проведем луч под углом 22.5 градусов (половина от 45 градусов)
5. Точка пересечения последнего луча с отрезком a будет вершиной треугольника
6. Из этой вершины проведем биссектрису угла, образованного сторонами треугольника

Этап 3: доказательство.
Для доказательства равнобедренности треугольника нам нужно показать, что две стороны треугольника равны между собой, а также что биссектриса угла при основании делит его на две равные части.

1. Стороны треугольника:
- Очевидно, что сторона, соединяющая вершину треугольника с концом отрезка a, равна a
- Также мы знаем, что отрезок b - это биссектриса угла, образованного сторонами треугольника
- Значит, стороны треугольника, выходящие из вершины, которую мы построили, равны между собой

2. Биссектриса:
- Из построения мы знаем, что биссектриса угла при основании проходит через вершину треугольника
- Также мы знаем, что биссектриса делит угол на две равные части
- Значит, биссектриса делит сторону a на две равные части

Таким образом, мы доказали, что построенный треугольник является равнобедренным, в котором длина основания равна a и длина биссектрисы – b.

Этап 4: исследование.
При заданных значениях a и b задача имеет единственное решение. Однако, если длина отрезка b больше, чем половина длины отрезка a, то построить треугольник не получится. В таком случае, биссектриса угла при основании будет лежать за пределами отрезка a и не будет пересекаться с ним внутри треугольника.