Определить закон распределения ДСВ задачи В лотерее 200 билетов, из них 10 выигрышных. Куплено два билета. Составить закон распределения СВ Х - числа выигрышных билетов среди купленных… Построить полигон. Найти числовые характеристики ( М(Х) и Д(Х) двумя способами).

Дано: $n = 200$, $m = 10$, $k = 2$.

Случайная величина $X$ - количество выигрышных билетов среди купленных. $X$ может принимать значения от 0 до 2.

Вероятность выиграть на одном билете: $p = \frac{m}{n}$.

Тогда закон распределения $X$ будет выглядеть следующим образом:

| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | $(1-p)^2$ | $2p(1-p)$ | $p^2$ |

Построим полигон:


Способ 1. Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$$M(X) = \sum_{i=0}^2 X_i P(X_i) = 0 \cdot (1-p)^2 + 1 \cdot 2p(1-p) + 2 \cdot p^2 = 2p = \frac{1}{10} \cdot 2 = 0.2$$

Найдем дисперсию $D(X)$:

$$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$$

Найдем сначала $M(X^2)$:

$$M(X^2) = \sum_{i=0}^2 X_i^2 P(X_i) = 0^2 \cdot (1-p)^2 + 1^2 \cdot 2p(1-p) + 2^2 \cdot p^2 = 2p$$

Тогда:

$$D(X) = 2p - (0.2)^2 = 0.196$$

Способ 2. Используем формулы для биномиального распределения:

$$M(X) = np = 2 \cdot \frac{1}{10} = 0.2$$

$$D(X) = np(1-p) = 2 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} = 0.18$$

Таким образом, $M(X) = 0.2$, $D(X) = 0.196$.