.Точки  A, B, C, D рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят эту окруж­ность на че­ты­ре дуги  AB, BC, CD, AD , гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся со­от­вет­ствен­но как 4 : 5 : 6 : 3. Най­ти угол A четырехуг-ка  ABCD

Обозначим за $x$ градусную меру угла $A$. Так как сумма градусных мер дуг, образующих окружность, равна $360^\circ$, то можно составить уравнение:
$$4x+5x+6x+3x = 360^\circ$$
$$18x = 360^\circ$$
$$x = 20^\circ$$
Таким образом, градусная мера угла $A$ равна $20^\circ$.

Чтобы найти градусную меру угла $BCD$, можно воспользоваться соотношением:
$$\frac{BC}{AD} = \frac{5}{3}$$
Так как дуга $AD$ равна $4x$, а дуга $BC$ равна $5x$, то получаем:
$$\frac{5x}{4x} = \frac{5}{3}$$
$$x = \frac{12}{5} \cdot 20^\circ = 48^\circ$$
Таким образом, градусная мера угла $BCD$ равна $48^\circ$.

Итак, мы нашли две градусные меры углов в четырехугольнике $ABCD$: $20^\circ$ и $48^\circ$. Остальные два угла можно найти, зная, что сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$.