А6. Вектор т = 6а + 3b - 2с разложен по трем некомпланар- ным векторама, b, с. Разложите векторb по векторама, с, m.

Для начала найдем коэффициенты разложения вектора t по векторам a, b и c. Для этого составим матрицу из координат векторов t, a, b и c и вычислим ее определитель:

$\begin{vmatrix}
6 & a_x & b_x & c_x \\
3 & a_y & b_y & c_y \\
-2 & a_z & b_z & c_z \\
\end{vmatrix}$

Вычисляя определитель, получим:

$6\begin{vmatrix}
a_y & b_y & c_y \\
a_z & b_z & c_z \\
\end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix}
a_x & b_x & c_x \\
a_z & b_z & c_z \\
\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}
a_x & b_x & c_x \\
a_y & b_y & c_y \\
\end{vmatrix}$

Поскольку векторы a, b и c некомпланарны, то определители в скобках не равны нулю, и мы можем выразить коэффициенты разложения:

$\begin{cases}
6a_x + 3b_x - 2c_x = k_1a_x + k_2b_x + k_3c_x \\
6a_y + 3b_y - 2c_y = k_1a_y + k_2b_y + k_3c_y \\
6a_z + 3b_z - 2c_z = k_1a_z + k_2b_z + k_3c_z \\
\end{cases}$

Откуда:

$k_1 = \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
6 & a_y & c_y \\
3 & a_z & c_z \\
-2 & b_z & c_z \\
\end{vmatrix} = 3a_z - 2b_z$

$k_2 = -\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
6 & a_x & c_x \\
3 & a_z & c_z \\
-2 & b_x & c_x \\
\end{vmatrix} = -3a_z + 2c_z$

$k_3 = \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
6 & a_x & b_x \\
3 & a_y & b_y \\
-2 & a_z & b_z \\
\end{vmatrix} = 3a_yb_z - 3a_zb_y - 2a_yb_x + 2a_xb_y$

Теперь выразим вектор b через векторы c и m. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases}
b_x = k_2c_x + l_1m_x \\
b_y = k_2c_y + l_2m_y \\
b_z = k_2c_z + l_3m_z \\
\end{cases}$

Подставляя в нее найденные значения $k_2$ и коэффициенты разложения вектора t, получим:

$\begin{cases}
b_x = -3a_zc_x + 2c_zc_x + l_1m_x \\
b_y = -3a_zc_y + 2c_zc_y + l_2m_y \\
b_z = -3a_zc_z + 2c_zc_z + l_3m_z \\
\end{cases}$

Откуда:

$l_1 = \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
2 & c_y & m_y \\
2 & c_z & m_z \\
-2 & b_z & c_z \\
\end{vmatrix} = -c_ym_z + c_zm_y$

$l_2 = -\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
2 & c_x & m_x \\
2 & c_z & m_z \\
-2 & b_x & c_x \\
\end{vmatrix} = c_xm_z - c_zm_x$

$l_3 = \frac{1}{2}\begin{vmatrix}
2 & c_x & m_x \\
2 & c_y & m_y \\
-2 & b_x & c_x \\
\end{vmatrix} = -c_xm_y + c_ym_x$

Итак, мы получили разложение вектора b по векторам c и m:

$b = (-3a_zc_x + 2c_zc_x - c_ym_z + c_zm_y)\cdot \vec{i} + ( -3a_zc_y + 2c_zc_y + c_xm_z - c_zm_x)\cdot \vec{j} + (-3a_zc_z + 2c_zc_z - c_xm_y + c_ym_x)\cdot \vec{k}$