Построить график и исследовать функцию

y=3/4x^4-x^3-9x^2+7

Четная нечетная?

Точка минимума и максимума(координаты)

Асимптоты графика функции

Точки перегиба (координаты)

Чему равен предел слева и справа

Для начала, построим график функции:


Исследуем функцию:

1. Четность/нечетность: функция является нечетной, так как при замене x на -x значение функции меняет знак.

2. Точки минимума и максимума: находим производную функции и приравниваем ее к нулю:

y' = 3x^3 - 3x^2 - 18x

y' = 3x(x^2 - x - 6)

Таким образом, критические точки находятся при x = -2, x = 0 и x = 3. Подставляем эти значения в исходную функцию и получаем:

y(-2) = 79
y(0) = 7
y(3) = -43

Следовательно, точка минимума находится в точке (3, -43), а точка максимума в точке (-2, 79).

3. Асимптоты: находим пределы функции при x -> +/- бесконечности:

lim (x -> +/-inf) y(x) = +/-inf

Таким образом, график функции не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот.

4. Точки перегиба: находим вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:

y'' = 18x^2 - 6x - 18

y'' = 6(3x^2 - x - 3)

Таким образом, точки перегиба находятся при x = -1 и x = 1/3. Подставляем эти значения в исходную функцию и получаем:

y(-1) = -18
y(1/3) = 6.56

Таким образом, точки перегиба находятся в точках (-1, -18) и (1/3, 6.56).

5. Пределы: находим пределы функции слева и справа в каждой точке. Например, в точке x = 0:

lim (x -> 0-) y(x) = 7
lim (x -> 0+) y(x) = 7

Таким образом, пределы совпадают и равны 7.

Итак, функция y=3/4x^4-x^3-9x^2+7 является нечетной, имеет точку минимума в (3, -43) и точку максимума в (-2, 79), не имеет асимптот и имеет точки перегиба в (-1, -18) и (1/3, 6.56). Пределы функции слева и справа в каждой точке совпадают.