даны векторы а и б, причем |а|=|б|=√2, а(а+б) =30°

найдите: а) угол между векторами а и б; б) длину вектора

помогите, пожалуйста, можно подробнее

Для решения задачи воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов:

а * б = |а| * |б| * cos(угол между векторами а и б)

Так как |а| = |б| = √2, то получаем:

а * б = 2 * cos(угол между векторами а и б)

Также из условия задачи известно, что а(а+б) = 30°. Раскроем скобки:

а * а + а * б = 30°

Так как |а|^2 = а * а = 2, то:

2 + а * б = 30°

а * б = 14

Подставляем это значение в формулу для скалярного произведения:

14 = 2 * cos(угол между векторами а и б)

cos(угол между векторами а и б) = 7/2

Угол между векторами а и б находится в первой или четвертой четверти, так как cos(угол) > 0. Изобразим векторы на координатной плоскости:

```
б
↑
│
│
└───→ а
```

Пусть угол между векторами а и б равен α. Тогда:

cos(α) = 7/2

Учитывая, что cos(α) = adjacent/hypotenuse, где adjacent - это проекция вектора а на вектор б, а hypotenuse - длина вектора а, получаем:

adjacent = 7/2 * √2

Так как длина вектора а равна √2, то:

adjacent = 7/2 * √2 = √98/2

Теперь можем найти длину вектора б:

|б| = √(|а|^2 + |б|^2 - 2 * |а| * |б| * cos(α)) = √(2 + |б|^2 - 2 * √2 * |б| * 7/2)

Решаем полученное квадратное уравнение относительно |б|:

|б|^2 - √2 * 7|б| + 9 = 0

|б| = (7√2 ± √(2 * 7^2 - 4 * 1 * 9)) / 2 = (7√2 ± √26) / 2

Так как |б| > 0, то:

|б| = (7√2 + √26) / 2

Итак, ответы на задачу:

а) угол между векторами а и б равен arccos(7/2) ≈ 19.47°;

б) длина вектора б равна (7√2 + √26) / 2.