концы отрезка, длина которого равна 25 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 20 см и 9 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных с концов отрезка до линии пересечения плоскостей.

Рассмотрим схему:


Пусть $AB$ — исходный отрезок длины $25$ см, $CD$ — линия пересечения плоскостей, $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

Так как $P$ и $Q$ лежат на одной прямой, то $PQ$ — кратчайшее расстояние между $AB$ и $CD$. Обозначим его через $h$.

Треугольник $APC$ является прямоугольным, поэтому по теореме Пифагора:

$AC^2 = AP^2 + PC^2$

$AC^2 = 20^2 + h^2$

Аналогично, треугольник $BQD$ является прямоугольным, поэтому:

$BD^2 = BQ^2 + QD^2$

$BD^2 = 9^2 + h^2$

Так как $AC = BD$, то можно записать:

$20^2 + h^2 = 9^2 + h^2$

$20^2 = 9^2$

$h^2 = 20^2 - 9^2 = 311$

$h = \sqrt{311}$ см.

Таким образом, расстояние между основаниями перпендикуляров равно $\sqrt{311}$ см.