Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
Для нахождения вероятности нахождения частицы в заданной области необходимо найти квадрат модуля волновой функции в этой области и проинтегрировать его по всему пространству.
В данном случае, волновая функция частицы будет иметь вид:
ψ(x, y) = A*sin(π*x/L1)*sin(π*y/L2)
где A - нормировочная константа, L1 и L2 - размеры прямоугольной области.
Для нормировки волновой функции, необходимо найти значение константы A:
∫∫|ψ(x, y)|^2 dx dy = 1
Интегрируя по всей области, получим:
∫(0→L1)∫(0→L2) A^2*sin^2(π*x/L1)*sin^2(π*y/L2) dx dy = 1
Для упрощения вычислений, можно заметить, что функция ψ(x, y) является произведением двух функций, зависящих только от одной переменной:
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y), где ψ(x) = A*sin(π*x/L1) и ψ(y) = sin(π*y/L2)
Таким образом, можно разделить интеграл на два отдельных интеграла:
∫(0→L1)∫(0→L2) |ψ(x)|^2 |ψ(y)|^2 dx dy = ∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Рассмотрим первый интеграл:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * ∫(0→L1) sin^2(π*x/L1) dx
Используя формулу для интеграла sin^2(x) = (1/2) - (1/2)*cos(2x), получим:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [x/2 - (L1/(4π))*sin(2π*x/L1)](0→L1)
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)]
Аналогично, для второго интеграла:
∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy = [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, подставляем значения интегралов в уравнение для нормировки:
A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] = 1
Выражая A^2:
A^2 = 1 / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, чтобы найти вероятность нахождения частицы в области 0P = ∫(0→L1/3)∫(0→L2) |ψ(x, y)|^2 dx dy
Разделяя интеграл на два отдельных интеграла:
P = ∫(0→L1/3) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Подставляем значения интегралов и константы A^2:
P = [L1/6 - (L1/(12π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Таким образом, вероятность нахождения частицы в области 0P = [L1/6 - (L1/(12π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
В данном случае, волновая функция частицы будет иметь вид:
ψ(x, y) = A*sin(π*x/L1)*sin(π*y/L2)
где A - нормировочная константа, L1 и L2 - размеры прямоугольной области.
Для нормировки волновой функции, необходимо найти значение константы A:
∫∫|ψ(x, y)|^2 dx dy = 1
Интегрируя по всей области, получим:
∫(0→L1)∫(0→L2) A^2*sin^2(π*x/L1)*sin^2(π*y/L2) dx dy = 1
Для упрощения вычислений, можно заметить, что функция ψ(x, y) является произведением двух функций, зависящих только от одной переменной:
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y), где ψ(x) = A*sin(π*x/L1) и ψ(y) = sin(π*y/L2)
Таким образом, можно разделить интеграл на два отдельных интеграла:
∫(0→L1)∫(0→L2) |ψ(x)|^2 |ψ(y)|^2 dx dy = ∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Рассмотрим первый интеграл:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * ∫(0→L1) sin^2(π*x/L1) dx
Используя формулу для интеграла sin^2(x) = (1/2) - (1/2)*cos(2x), получим:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [x/2 - (L1/(4π))*sin(2π*x/L1)](0→L1)
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)]
Аналогично, для второго интеграла:
∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy = [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, подставляем значения интегралов в уравнение для нормировки:
A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] = 1
Выражая A^2:
A^2 = 1 / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, чтобы найти вероятность нахождения частицы в области 0
Разделяя интеграл на два отдельных интеграла:
P = ∫(0→L1/3) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Подставляем значения интегралов и константы A^2:
P = [L1/6 - (L1/(12π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Таким образом, вероятность нахождения частицы в области 0
0
·
Хороший ответ
1 ноября 2023 10:30
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Физика
Чему равна молярная масса серной кислоты формула которой H2SO4?...
Срочно нужно решить задачу 927. Первый гусеничный трактор конструкции А. Ф. Блинова, 1888 г., имел два паровых двигателя. За 1 ч он расходовал 5.кг то...
Какая величина называется физической? В чем заключается её смысл? Назовите известные вам физические величины. ...
По рисункам 8 и 9 определите цену деления амперметра и вольтметрат.Срочно нужно с объяснениями ...
Спираль электрической плитки изготовлена из нихромовой проволоки длинной 13,75м и площадью поперечного сечения 0,1мм². Плитка рассчитана на напряжение...