Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 900 б
- Dwayne_Johnson 870 б
Для нахождения вероятности нахождения частицы в заданной области необходимо найти квадрат модуля волновой функции в этой области и проинтегрировать его по всему пространству.
В данном случае, волновая функция частицы будет иметь вид:
ψ(x, y) = A*sin(π*x/L1)*sin(π*y/L2)
где A - нормировочная константа, L1 и L2 - размеры прямоугольной области.
Для нормировки волновой функции, необходимо найти значение константы A:
∫∫|ψ(x, y)|^2 dx dy = 1
Интегрируя по всей области, получим:
∫(0→L1)∫(0→L2) A^2*sin^2(π*x/L1)*sin^2(π*y/L2) dx dy = 1
Для упрощения вычислений, можно заметить, что функция ψ(x, y) является произведением двух функций, зависящих только от одной переменной:
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y), где ψ(x) = A*sin(π*x/L1) и ψ(y) = sin(π*y/L2)
Таким образом, можно разделить интеграл на два отдельных интеграла:
∫(0→L1)∫(0→L2) |ψ(x)|^2 |ψ(y)|^2 dx dy = ∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Рассмотрим первый интеграл:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * ∫(0→L1) sin^2(π*x/L1) dx
Используя формулу для интеграла sin^2(x) = (1/2) - (1/2)*cos(2x), получим:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [x/2 - (L1/(4π))*sin(2π*x/L1)](0→L1)
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)]
Аналогично, для второго интеграла:
∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy = [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, подставляем значения интегралов в уравнение для нормировки:
A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] = 1
Выражая A^2:
A^2 = 1 / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, чтобы найти вероятность нахождения частицы в области 0P = ∫(0→L1/3)∫(0→L2) |ψ(x, y)|^2 dx dy
Разделяя интеграл на два отдельных интеграла:
P = ∫(0→L1/3) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Подставляем значения интегралов и константы A^2:
P = [L1/6 - (L1/(12π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Таким образом, вероятность нахождения частицы в области 0P = [L1/6 - (L1/(12π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
В данном случае, волновая функция частицы будет иметь вид:
ψ(x, y) = A*sin(π*x/L1)*sin(π*y/L2)
где A - нормировочная константа, L1 и L2 - размеры прямоугольной области.
Для нормировки волновой функции, необходимо найти значение константы A:
∫∫|ψ(x, y)|^2 dx dy = 1
Интегрируя по всей области, получим:
∫(0→L1)∫(0→L2) A^2*sin^2(π*x/L1)*sin^2(π*y/L2) dx dy = 1
Для упрощения вычислений, можно заметить, что функция ψ(x, y) является произведением двух функций, зависящих только от одной переменной:
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y), где ψ(x) = A*sin(π*x/L1) и ψ(y) = sin(π*y/L2)
Таким образом, можно разделить интеграл на два отдельных интеграла:
∫(0→L1)∫(0→L2) |ψ(x)|^2 |ψ(y)|^2 dx dy = ∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Рассмотрим первый интеграл:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * ∫(0→L1) sin^2(π*x/L1) dx
Используя формулу для интеграла sin^2(x) = (1/2) - (1/2)*cos(2x), получим:
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [x/2 - (L1/(4π))*sin(2π*x/L1)](0→L1)
∫(0→L1) |ψ(x)|^2 dx = A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)]
Аналогично, для второго интеграла:
∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy = [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, подставляем значения интегралов в уравнение для нормировки:
A^2 * [L1/2 - (L1/(4π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] = 1
Выражая A^2:
A^2 = 1 / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Теперь, чтобы найти вероятность нахождения частицы в области 0
Разделяя интеграл на два отдельных интеграла:
P = ∫(0→L1/3) |ψ(x)|^2 dx * ∫(0→L2) |ψ(y)|^2 dy
Подставляем значения интегралов и константы A^2:
P = [L1/6 - (L1/(12π))*sin(2π)] * [L2/2 - (L2/(4π))*sin(2π)] / [L1*L2 - (L1*L2/(4π))*sin(2π)]
Таким образом, вероятность нахождения частицы в области 0
0
·
Хороший ответ
1 ноября 2023 10:30
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Физика
Точечный источник света находится на расстоянии 160 см от плоского зеркала. Если зеркало, не поворачивая, отодвинуть от источника на 0,2 м, то расстоя...
Дифракционная решетка с периодом 10–5 м расположена параллельно экрану на расстоянии 1,8 м от него. Какого порядка максимум в спектре будет наблюдать...
Александру необходимо добраться на машине из Москвы в Санкт-Петербург за 10,5 часов. С какой минимальной средней скоростые он должен ехать, если длина...
Мотор электровоза, при движении со скоростью 72 км/ч, потребляет мощность 800 кВт. КПДсиловой установки электровоза 0,8. Определить силу тяги мотора...
как должны быть расположены изолированные друг от друга стальные пластины сердечника ротора индукционного генератора для уменьшения вихревых токов?...