1.       Найдите производные следующих функций и вычислите их значение

 

а) f (x) = -x³ + 9 x² +x^-1; Найти f^{, (-1)}

б) у= x2+1/ x2 - 1 найти у^{, (2)}

в) у = (3х⁴+5x³-2x²-15x – 45)⁴; у = sin² 3 x ³

А) Для нахождения производной функции f(x) = -x^3 + 9x^2 + x - 1, применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:

f'(x) = -3x^2 + 18x + 1

Теперь можем вычислить значение функции f(-1):

f(-1) = -(-1)^3 + 9(-1)^2 + (-1) - 1
= 1 + 9 - 1 - 1
= 8

Ответ: f(-1) = 8.

б) Для нахождения производной функции y = (x^2 + 1) / (x^2 - 1), воспользуемся правилом дифференцирования для частного функций:

y' = ((x^2 - 1)(2x) - (x^2 + 1)(2x)) / (x^2 - 1)^2
= (2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x) / (x^2 - 1)^2
= (-4x) / (x^2 - 1)^2

Теперь можем вычислить значение функции y при x = 2:

y(2) = (2^2 + 1) / (2^2 - 1)
= 5 / 3

Ответ: y(2) = 5/3.

в) Для нахождения производной функции y = (3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 15x - 45)^4, воспользуемся правилом дифференцирования для композиции функций и правилом дифференцирования для степенной функции:

y' = 4(3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 15x - 45)^3 * (12x^3 + 15x^2 - 4x - 15)
= 4(3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 15x - 45)^3 * (12x^3 + 15x^2 - 4x - 15)

Теперь можем вычислить значение функции y при x = sin(2 * 3x):

y = (3(sin(2 * 3x))^4 + 5(sin(2 * 3x))^3 - 2(sin(2 * 3x))^2 - 15(sin(2 * 3x)) - 45)^4

Ответ: y = (3(sin(6x))^4 + 5(sin(6x))^3 - 2(sin(6x))^2 - 15(sin(6x)) - 45)^4.