б) Решите тремя способами

3х – 2 у + z = - 4

3 x + у - z = 17

X – y + 32 = 3

 

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки, методом сложения/вычитания и методом Крамера.

Метод подстановки:
1) Решим первое уравнение относительно x: 3x = 2у - z - 4 => x = (2у - z - 4) / 3.
2) Подставим это выражение для x во второе уравнение: 3((2у - z - 4) / 3) + у - z = 17.
Упростим уравнение: 2у - z - 4 + у - z = 17 => 3у - 2z = 21.
3) Решим третье уравнение относительно x: x = y - 29.
4) Подставим это выражение для x в первое уравнение: 3(y - 29) - 2у + z = -4.
Упростим уравнение: 3у - 87 - 2у + z = -4 => у + z = 83.
5) Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: 3у - 2z = 21 и у + z = 83.
Решим эту систему методом подстановки или методом сложения/вычитания.
Например, можно выразить z через у из второго уравнения и подставить в первое уравнение:
z = 83 - у.
Подставим это выражение для z в первое уравнение: 3у - 2(83 - у) = 21.
Упростим уравнение: 3у - 166 + 2у = 21 => 5у = 187 => у = 37,4.
Затем найдем z, подставив найденное значение у во второе уравнение: z = 83 - 37,4 = 45,6.
Наконец, найдем x, подставив значения у и z в первое уравнение: x = (2 * 37,4 - 45,6 - 4) / 3 ≈ -1,6.

Таким образом, первым способом решения получаем x ≈ -1,6, у ≈ 37,4, z ≈ 45,6.

Метод сложения/вычитания:
1) Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на -3: 9x - 6у + 3z = -12 и -9x - 3у + 3z = -51.
Сложим эти уравнения: -9у + 6z = -63.
2) Умножим третье уравнение на 9: 9x - 9у + 288 = 27.
Упростим уравнение: -9у + 9x = -261.
3) Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: -9у + 6z = -63 и -9у + 9x = -261.
Решим эту систему методом сложения/вычитания.
Вычтем второе уравнение из первого: -9у + 6z - (-9у + 9x) = -63 - (-261).
Упростим уравнение: -9у + 6z + 9у - 9x = 198.
Далее, упростим уравнение: -3у + 6z - 9x = 198.
Разделим уравнение на -3: у - 2z + 3x = -66.
4) Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: у - 2z + 3x = -66 и у + z = 83.
Решим эту систему методом сложения/вычитания.
Вычтем второе уравнение из первого: (у - 2z + 3x) - (у + z) = -66 - 83.
Упростим уравнение: у - 2z + 3x - у - z = -149.
Упростим уравнение: -3z + 3x = -149.
Упростим уравнение: z - x = 49.
5) Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: z - x = 49 и у + z = 83.
Решим эту систему методом сложения/вычитания.
Сложим два уравнения: z - x + у + z = 49 + 83.
Упростим уравнение: 2z - x + у = 132.
Упростим уравнение: x = 2z + у - 132.
6) Теперь у нас есть выражение для x через у и z: x = 2z + у - 132.
Подставим это выражение для x в первое уравнение: 3(2z + у - 132) - 2у + z = -4.
Упростим уравнение: 6z + 3у - 396 - 2у + z = -4.
Упростим уравнение: 7z + у = 392.
7) Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: 7z + у = 392 и у + z = 83.
Решим эту систему методом сложения/вычитания.
Вычтем второе уравнение из первого: (7z + у) - (у + z) = 392 - 83.
Упростим уравнение: 7z + у - у - z = 309.
Упростим уравнение: 6z = 309.
Разделим уравнение на 6: z = 51,5.
Затем найдем у, подставив найденное значение z во второе уравнение: у + 51,5 = 83 => у = 31,5.
Наконец, найдем x, подставив значения у и z в первое уравнение: 3x - 2 * 31,5 + 51,5 = -4 => 3x - 63 + 51,5 = -4 => 3x = 15,5 => x ≈ 5,17.

Таким образом, вторым способом решения получаем x ≈ 5,17, у ≈ 31,5, z ≈ 51,5.

Метод Крамера:
1) Найдем определитель основной матрицы системы: D = |3 -2 1| = 3(1 - (-1)) - (-2)(-4 - 1) = 3(2) - (-2)(-5) = 6 - 10 = -4.
2) Найдем определитель матрицы, где вместо столбца x стоят столбец свободных членов: Dx = |-4 -2 1| = -4(1 - (-1)) - (-2)(-4 - 1) = -4(2) - (-2)(-5) = -8 + 10 = 2.
3) Найдем определитель матрицы, где вместо столбца y стоят столбец свободных членов: Dy = |3 -4 1| = 3(1 - (-2)) - (-4)(-4 - 1) = 3(3) - (-4)(-5) = 9 + 20 = 29.
4) Найдем определитель матрицы, где вместо столбца z стоят столбец свободных членов: Dz = |3 -2 -4| = 3(-4 - (-1)) - (-2)(17 - 32) = 3(-3) - (-2)(-15) = -9 + 30 = 21.
5) Найдем значения неизвестных: x = Dx / D = 2 / (-4) = -0,5, y = Dy / D = 29 / (-4) = -7,25, z = Dz / D = 21 / (-4) = -5,25.

Таким образом, третьим способом решения получаем x ≈ -0,5, y ≈ -7,25, z ≈ -5,25.

Итак, система уравнений имеет три решения: (x ≈ -1,6, y ≈ 37,4, z ≈ 45,6), (x ≈ 5,17, y ≈ 31,5, z ≈ 51,5), (x ≈ -0,5, y ≈ -7,25, z ≈ -5,25).